가장 짧은 등가 CNF 공식

하자 될 만족할 와 CNF 화학식 변수 절. 하자 의 솔루션 공간이 될 . $F_1$ $n$ $m$ $S_{F_1}$ $F_1$

주어진 결정의 문제가 고려 다른 CNF 수식 같은 변수들의 동일 세트 함께 (동일 솔루션 공간 )하지만, 가능한 한 적은 수의 절 등으로 (유일 목표는 절 수를 최소화하는 것이므로 각 절에 몇 개의 리터럴이 있는지는 관련이 없습니다. $F_1$ $F_2$ $F_1$ $S_{F_2} = S_{F_1}$ $F_1$

질문

이미이 문제를 조사한 사람이 있습니까? 관련 문헌에 결과가 있습니까?

예를 들어, 다음 CNF 공식 고려하십시오 (각 행은 절입니다). $F_1$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

그리고 다음 공식 : $F_2$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

둘 다 같은 솔루션 공간을 갖지만 에는 절이 있지만 에는 있습니다. $F_1$ $6$ $F_2$ $4$

마지막으로 다음 공식 고려하십시오 . $F_3$

$x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

솔루션 공간은 다시 동일하지만 절만 있습니다. $3$

— 조르지오 카메라 니
소스

@tsuyoshi 나는 같은 솔루션 공간을 가진 최소 수의 절로 구성된 cnf 수식을 원한다고 생각합니다.

— Tayfun Pay

@TsuyoshiIto : 예, 절 수를 최소화하고 싶습니다. 각 절에있을 수있는 리터럴 수에는 제한이 없습니다.

— Giorgio Camerani

"작은"에 대한 합리적인 정의에있어 문제는 NP-hard입니다. CNF 공식은 제로 절이있는 공식 "False"와 동일 하지 않은 경우에만 만족할 수 있습니다.

— Jeffε

citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/…의 6 절 은 주어진 문자 수만큼의 동등한 CNF 공식이 있는지를 결정하는 문제는 -complete 합니다. 절의 수를 최소화하는 버전이 흥미로운 이유를 잘 모르겠습니다. 이는 수식 크기 의 요소 내에 있습니다. 여기서 은 변수의 수입니다.

Π_{2}^{p}

$\Pi_2^p$

n

$n$

n

$n$

— András Salamon

또한, 최근의 또 다른 결과는 dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

— András Salamon

답변:

주어진 수의 리터럴을 가진 동등한 CNF 수식이 있는지 확인하는 문제는 -complete입니다. 절 수를 최소화하는 버전 은 수식 크기 의 요소 내에 있으며 , 여기서 은 변수 수입니다. 섹션 6 참조 : $\Pi_2^p$ $n$ $n$

Christopher Umans, 최소 등가 DNF 문제 및 최단 관련자 , JCSS 63 (4), 597–611, 2001. doi : 10.1006 / jcss.2001.1775 ( preprint )

최근 결과는 가장 짧은 등가 CNF 공식 (지정한 절 수로 측정)의 크기에 대한 특정 하한을 계산하는 것이 NP- 완료임을 보여줍니다. 이 논문은 또한 위의 Umans 논문을 인용하면서 절 수를 최소화하는 문제가 -complete라고 언급하지만, 왜 이것이 다음과 같은지 나에게 명백하지는 않습니다. $\Pi^p_2$

Ondřej Čepek, Petr Kučera 및 Petr Savický, CNF 복잡성 , DAM 160 (4–5), 365–382, 2012에 대한 간단한 인증서가있는 부울 함수 . doi : 10.1016 / j.dam.2011.05.013

— 안드라 살 라몬
소스

회로 minization 문제 (아래 주석 참조) 난치성이다. 또한 여러분이 관심을 가질만한 것은 SAT 전처리라고하는 일부 SAT 솔버가 (적어도 어느 정도까지) 적용하는 기술입니다. 예를 들어 잘 알려진 MiniSAT 솔버는 CNF 최소화 기 SatELite 를 사용 하여 인스턴스를 사전 처리합니다. Google Scholar는 "토 전처리"에 대한 많은 결과를 제공합니다.

— 유호
소스

2008 년 Buchfuhrer와 Umans가 튜링 감소에서 -complete 인 회로 최소화 문제를 해결했다고 생각 했 습니까?

Π_{2}^{p}

$\Pi^p_2$

— András Salamon

Umans는 1998 년에 최소 동등한 CNF 공식을 찾는 것이 -hard ( dx.doi.org/10.1006/jcss.2001.1775 ) 임을 이미 보여주었습니다 . 논문 András는 이것을 더 큰 깊이 회로로 일반화한다고 언급했습니다.

Σ_{2}^{P}

$\Sigma^P_2$

— Jan Johannsen

EE에서 CNF 최소화에 대한 주요 표준 / 알려진 솔루션은 Quine-McCluskey 알고리즘 으로, 많은 구현, 일부 공개 도메인이 있습니다. 그러나 내 이해는 (현재 위키 백과 기사에서 언급되지 않았 음) 가장 큰 휴리스틱과 욕심 알고리즘으로 되돌아가 큰 수식에 대한 솔루션을 찾을 수 있다는 것입니다. 최적의 솔루션 esp를 찾으십시오. 큰 입력 인스턴스의 경우.

Quine-MCluskey는 Karnough 맵 작업의 일반화로, 작은 인스턴스에서 다이어그램이 성공할 수 있습니다.

동일한 (최소) 절 크기를 가진 등가 공식의 관점에서 여러 최적 솔루션이있을 수 있으며, 이는 subj에 대한 좋은 참조로 지적 될 것입니다. 최소값을 찾는 것은 원래 공식의 크기와 비교하여 메모리 / "공간"에 엄청난 지수 폭발을 일으킬 수있는 모든 주요 함축을 나열하는 것으로 분명히 줄어 듭니다.

— vzn
소스