래드 너 정리 vs 쉐퍼 정리

"복잡성 계산에서 승리를 선언 할 때입니까?" 기사를 읽는 동안 이상에서 "괴델의 분실 문자 및 P = NP" 블로그, 그들은 CSP의의 이분법을 언급했다. 인터넷 링크와 위키 핑을 따라 간 링크를 따라 Ladner Theorem을 발견했습니다 .

라드의 정리 : 만약 , 다음에 문제가있는 아닌 - 완전한은.N P ∖ P N ${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

그리고 쉐퍼의 정리 :

쉐퍼의 이분법 정리 : 모든 제약 언어에 대해 이상 , 경우 다음 쉐퍼입니다 다항식 시간 풀 수 있습니다. 그렇지 않으면 는 -완료입니다.{ 0 , 1 } Γ C S P ( Γ ) C S P ( Γ ) N $\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

나는 이것을 Ladner 's에 의해 또는 - 하지 않은 문제가 있지만 Schaefer 's에 의해 문제는 및 -완전하다는 것을 의미합니다. 만.N P P N ${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

내가 무엇을 놓치고 있습니까? 이 두 결과가 서로 모순되지 않는 이유는 무엇입니까?

나는 여기 에서 위의 정리 진술의 요약본을 취했다 . "최종 설명"섹션에서 "문제가 있지만 - 하지 않으면 CSP로 공식화 할 수 없습니다"라고 말합니다. .N ${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

이는 문제가 있는 일부 인스턴스가 누락되었음을 의미합니까 ? 어떻게 가능합니까?N ${\bf SAT}$${\bf NP}$

Massimo Lauria가 말했듯이 CSP ( ) 형식의 문제 는 다소 특별합니다. 따라서 모순이 없습니다.$\Gamma$

임의의 제약 만족 문제 인스턴스는 관계 구조 와 의 쌍 으로 표현 될 수 있으며 , 소스 로부터 목표 까지 관계 구조 동질성이 존재 하는지를 결정해야한다 . $(S,T)$T S $S$$T$$S$$T$

CSP ( )는 특별한 종류의 제약 만족 문제입니다. 대상 관계형 구조 에서 의 관계 만 사용하여 구성되는 모든 관계형 구조 쌍으로 구성됩니다 . CSP ( ) = 입니다. Schaefer의 정리에 따르면 에 이상의 관계 만 포함 된 경우 CSP ( )는 NP- 완전이거나 P에 있지만 다른 CSP 인스턴스 모음에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다.Γ Γ { ( S , T는 ) | 의 관계를 모두  T는  출신  Γ } Γ { 0 , 1 } $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$

극단적 인 예로서, NP- 완료된 CSP ( )로 시작 하여 언어에서 "구멍을 뚫는"것으로 시작할 수 있습니다. (래드 너 자신의 정리의 증명에 SAT와 이런 짓을.) 결과는 더 이상 양식 CSP (의 인스턴스 만의 일부를 포함하는 부분 집합, 및 없다 어떤 경우) . 구성을 반복하면 P ≠ NP라고 가정 할 때 경도가 감소하는 언어의 무한 계층 구조가 생성됩니다.Γ ' Γ $\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

문제에는 일반적인 문제가없는 구조가 있다는 것을 이해해야합니다 . 간단한 예를 들어 보겠습니다. 보자 . 이 언어는 두 변수 사이의 평등과 불평등 만 표현할 수있는 언어입니다. 분명히 그러한 제약 조건은 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다.S A T Γ = { { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$

와 절 사이의 관계를 명확히하기 위해 두 가지 주장을하겠습니다 . 다음은 합니다.P ≠ N $\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

첫째 : 제약 조건에는 고정 된 수의 변수가 있지만 중간 문제의 인코딩에는 큰 절이 필요할 수 있습니다. 이러한 큰 제약 조건이 보조 변수를 사용하는 작은 제약 조건의 결합으로 표현 될 수있을 때 이것이 반드시 문제가되는 것은 아닙니다. 불행히도 이것은 항상 일반적인 의 경우는 아닙니다 .$\Gamma$

가 5 개의 변수 중 만 포함 한다고 가정 합니다. 입력을 반복하여 적은 변수 의 를 표현할 수 있습니다 . 확장 변수를 사용하여 더 큰 표현 하려면 양수와 음수 리터럴의 분리가 필요하기 때문에 더 큰 표현할 수 없습니다 . 는 리터럴이 아니라 변수 에 대한 관계를 나타냅니다 . 실제로 3- 를 로 생각할 때 일부 부정 입력 (0에서 3까지)과 4 개의 분리 관계를 포함 하려면 가 필요 합니다.O R O R O R Γ S A T C S P$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

둘째 : 각 관계는 3 개의 리터럴을 가진 절들의 배치로 표현 될 수 있습니다. 각 제약 조건은 이러한 절의 전체 배치 여야합니다. 평등 / 불평등 제약 조건의 예에서 당신은 바이너리 수 없습니다 (즉, 관계를 ) 시행하지 않고 바이너리 부정 (즉, 관계 ) 같은 변수에.A N D ( 1 , 1 ) O R ( 0 , 0 $\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

이것이 에서 얻은 인스턴스 가 의 특성에 의해 시행되는 매우 독특한 구조를 가지고 있음을 보여주기를 바랍니다 . 구조가 너무 빡빡하면 어려운 문제를 표현할 수 없습니다. C S P$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

Schaefer Theorem의 결론은 결정 문제 를 표현하기에 충분히 느슨한 구조를 시행 할 때마다 동일한 일반적인 3- 인스턴스 를 표현할 수있는 충분한 자유를 허용한다는 것 입니다.N P ∖ P Γ S A $\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$