3 치 논리의 기능적 완전성

최근 연구 의 맥락에서 , 우리는 클레인 (La Kleene)의 3 치 논리를 기반으로 언어를 정의 해 왔습니다. $1$ 사실, $0$ 거짓으로 $\bot$ 오류가 있거나 모르는 경우 우리의 언어가 표현 적이라는 것을 보여주기 위해, 우리는 기능적으로 완전한 일련의 연산자를 만들 수 있음을 증명하고자했습니다.

문헌에서 기존 결과를 찾기는 매우 어려웠습니다. 우리는 Jobe이 1962 년에 다음과 같은 정리를 쓴 논문을 발견했습니다.

Jobe 1962 Theorem Paper (제한된 접근).

3 값 논리 $E$ 세트 위에 표현 $\{1, 2, 3\}$ 그리고 운영자에 의해 정의 $\bullet, E_1$ 과 $E_2$ 아래에 주어진 기능은 완전합니다.

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

우리의 논문에서, 우리는 연산자와 Jobe에 의해 정의 된 연산자들 사이의 일치 성을 보여줌으로써이 결과를 사용했습니다.

나의 주요 관심사는 실제로 Jobe의 기능적 완전성에 대한 증거를 이해할 수 없으며이 날짜 이후에 다른 결과 (긍정적 또는 부정적)를 찾을 수 없다는 것입니다.

그래서 내 질문은 다음과 같습니다. 3 값 논리의 기능적 완전성에 대해 더 알려진 결과가 있습니까? 이 방향의 모든 정보가 도움이 될 것입니다.

reference-request lo.logic

— 찰스
소스

그만큼

3

$3$ -요소 필드가 기능적으로 완료되었습니다. 그만큼

3

$3$ -요소 포스트 대수가 기능적으로 완료되었습니다.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek 고마워, 나는 단지 Ternary Post Logic에 대해 읽었으며 그에 상응하는 것처럼 보입니다 (이 주제에서도 많은 것을 찾을 수는 없지만). 3 요소 필드에 대한 참조가 있습니까? 구글은 너무 모호하다.

— Charles

나는 당신에게 참조를 줄 수는 없지만 쉬운 사실입니다 : 표준 (다변량) 보간은 유한 필드의 모든 연산이 다항식으로 표현 될 수 있음을 의미합니다. 또한 필드가 소수 인 경우 (예 : 다항식의 계수는 상수 항 (

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$ ). 따라서 언어의 주요 필드

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$ 기능적으로 완성되었습니다.

— Emil Jeřábek

이 책의 5 장과 6 장 (유한 세트에 대한 함수 대수, Dietlinde Lau, 2006)은 많은 가치를 지닌 논리 (증거 포함)에서 기능적 완전성을 심층적으로 다루고있다. 요약 : Rosenbergs [1965, 1970] 최대 클론의 특성 (사전 완료 클론이라고도 함)은 k에 대한 k 값 논리의 기능적 완전성에 대한 기준을 제공합니다.

3 값 논리의 특수한 경우에 대해 1954 년 Jablonskij는 이러한 특성화 (18 개의 최대 / 사전 완료 클래스로 구성)를 이미 제공했습니다. 18 개의 사전 완성 수업에 빠지지 않는지 확인하기에 충분합니다.

— 구스타프 노르 드
소스