몬테카를로 알고리즘에 대한 야오의 미니 맥스 원리

유명한 Yao의 Minimax 원리 는 분포 복잡성과 무작위 복잡성 사이의 관계를 나타냅니다. 하자 유한 집합에 문제가 의 입력과 유한 집합 해결하는 결정적 알고리즘의 . 또한 은 입력 분포를 나타내고 은 의 확률 분포를 나타냅니다 . 그러면 원리는 $P$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{A}$ $P$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{A}$

min_{A \in A} E c o s t (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t (R, x) for all D and R .

$\min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost(\mathcal{R},x) \quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$ and $\mathcal{R}$}.$ 이 증거는 제로섬 게임에 대한 폰 노이만의 미니 맥스 정리에서 직접 따릅니다.

Yao의 원칙은 대부분 Las Vegas 알고리즘 만 다루지 만 다음과 같이 Monte Carlo 알고리즘 으로 일반화 할 수 있습니다 .

\frac{1}{2} min_{A \in A} E c o s t_{2 ϵ} (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t_{ϵ} (R, x) for all D, R and ϵ \in [0, 1 / 2]

$\frac12 \min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost_{2\epsilon}(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost_{\epsilon}(\mathcal{R},x)\quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$, $\mathcal{R}$ and $\epsilon\in [0,1/2]$}$ 에서

c o s t_{ϵ} (\cdot, \cdot)

$cost_\epsilon(\cdot,\cdot)$ 은 최대

확률을

Monte Carlo 알고리즘의 비용을 나타냅니다

ϵ

$\epsilon$ .

에서 치아의 원래 종이 , 몬테 카를로 알고리즘에 대한 관계는 증거없이 정리 3에 주어진다. 그것을 증명하는 힌트가 있습니까?

randomized-algorithms

— 페데리코 마 갈라 네스
소스

이것은 그의 표기법을 사용하여 Marcos의 답변에 대한 확장 된 주석입니다. 나는 그의 주장에 대한 세부 사항을 잘 이해할 수 없으며 아래 내용은 매우 짧고 쉽습니다.

평균화하여

\sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) ϵ (A, x) = \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) ϵ (A, x) \leq λ .

$\sum_A{q(A)\sum_x{d(x)\epsilon(A, x)}} = \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)\epsilon(A, x)}} \leq \lambda.$

위의 사실과 Markov의 불평등은 $\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)} \geq 1/2$ 합니다.

그래서 우리는 얻는다 :

\begin{aligned} max_{x} \sum_{A} q (A) r (A, x) & \geq \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) r (A, x) \\ = \sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq (\sum_{A \in β (2 λ)} q (A)) min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \end{aligned}

$\begin{align*} \max_x \sum_A{q(A)r(A,x)} &\geq \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)r(A, x)}}\\ &= \sum_A{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \left(\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)}\right) \min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \frac{1}{2}\min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}} \end{align*}$

— 개정
소스

이것에 대해 시도해 볼 것입니다. Yao의 원래 표기법을 사용하겠습니다. 이런 식으로 그의 논문과 그의 정의와 대조하기가 더 쉬울 것이다.

하자 입력 유한 집합, 그리고하자 일부 입력에 대한 정확한 대답을하지 못할 수 있습니다 결정적 알고리즘의 유한 집합을합니다. 또한하자 하는 경우 정확한 답에 대한 제공 및 , 그렇지. 또한 입력 에 대해 가 수행 한 쿼리 수를 로 표시 하거나 의 의사 결정 트리 깊이를 표시 합니다. $\mathcal{I}$ $\mathcal{A}_0$ $\epsilon(A,x)=0$ $A$ $x$ $\epsilon(A,x)=1$ $r(A,x)$ $A$ $x$ $A$

평균 비용 : 확률 분포 감안 에 은 평균 비용 의 알고리즘 인 . $d$ $\mathcal{I}$ $A\in \mathcal{A}_0$ $C(A,d)=\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot r(A,x)$

분포 복잡성 : 보자 . 입력에 대한 분포 의 경우, 를 의해 주어진 의 부분 집합으로합니다 . 계산 문제 대한 오차 의 분포 복잡도 는 . $\lambda\in[0,1]$ $d$ $\beta(\lambda)$ $\mathcal{A}_0$ $\beta(\lambda)=\{A : A\in \mathcal{A}_0, \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda\}$ $\lambda$ $P$ $F_{1,\lambda}(P)=\max_{d} \min_{A\in \beta(\lambda)} C(A,d)$

$\lambda$ -tolerance : 분배 패밀리에 IS -tolerant 경우 . $q$ $\mathcal{A}_0$ $\lambda$ $\max_{x\in \mathcal{I}} \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda$

예상 비용 : 무작위 알고리즘 경우 는 에서 tolerant 인 확률 분포입니다 . 예상 비용 의 주어진 입력에 대한 이고 . $R$ $q$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$ $R$ $x$ $E(R,x)=\sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(A)\cdot r(A,x)$

무작위 복잡성 : 하자 . 오류 의 무작위 복잡도 는 입니다. $\lambda\in[0,1]$ $\lambda$ $F_{2,\lambda}=\min_R \max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)$

이제 사업을 시작할 준비가되었습니다. 우리가 배포 주어진다 입증 할 입력에와 무작위 알고리즘 (즉, 배포 에 ) $d$ $R$ $q$ $\mathcal{A}_0$

Montecarlo 알고리즘에 대한 Yao의 Minimax 원리 대 .
$max_{x \in I} E (R, x) \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} C (A, d)$ $\begin{equation}\max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)\geq \frac{1}{2}\min_{A\in \beta(2\lambda)} C(A,d) \end{equation}$ $\lambda\in[0,1/2]$

나는 Fich, Meyer auf der Heide, Ragde 및 Wigderson (Lemma 4 참조)이 제시 한 접근법을 따를 것 입니다. 그들의 접근 방식은 Las Vegas 알고리즘에 대한 특성을 나타내지 않지만 (하한에만 해당), 우리의 목적에는 충분합니다. 그들의 증거로부터, 및 $\mathcal{A}_0$ $\mathcal{I}$

주장 1. . $\max_{x\in \mathcal{I}} E(R,x)\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0} C(A,d)$

정확한 숫자를 얻기 위해 비슷한 것을 할 것입니다. 무작위 알고리즘 의해 주어진 확률 분포 가 대해 tolerant 라면, 제품군 을 $q$ $R$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in A_{0}} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in A_{0}} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in A_{0}} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} . \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{align*}$

A_{0}

$\mathcal{A}_0$

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$ 우리는 그것을 본다

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in β (2 λ)} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\beta(2\lambda)} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \frac{1}{2}\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}, \end{align*}$

여기서 두 번째 부등식은 이므로 마지막 부등식은 합을 2로 나눈 값이 보다 클 수없는 의 정의에 의해 주어집니다 . 따라서 $\beta(2\lambda) \subseteq \mathcal{A}_0$ $\beta(2\lambda)$ $\lambda$

max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} .

$\begin{equation}\max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\geq\frac{1}{2} \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{equation}$

것을주의함으로써 매핑 및 매핑 및 상기 제 1, 이제 우리는 안전 함수 바꿀 수 이상 부등식하여 수득 원하는 불평등. $\epsilon$ $\{0,1\}$ $r$ $\mathbb{N}$ $\epsilon$ $r(A,x)$

— 마르코스 빌라 그라
소스

2의 요소가 어디에서 오는지에 대한 간단한 설명이 있습니까?

— 로빈 Kothari의

간단히 말해 의 정의에서 비롯된 것 입니다. 정의에서 2로 나눈 합은 최대 입니다.

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$

λ

$\lambda$

— Marcos Villagra

뭔가 이상한 것 같습니다. 정의에 따르면 그렇다면 왜 분입니까?

max_{A \in β (2 λ))} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x), ϵ (A, x)} \leq λ

$\max_{A \in \beta(2\lambda))} \left\{\frac{1}{2} \sum_{x \in \mathcal{I}}{d(x), \epsilon(A,x)}\right\} \leq \lambda$

— Sasho Nikolov

그리고 나는 마지막 문장을 이해하지 못합니다. 에 대한 전체 논쟁을 어떻게 하고 로 대체 했습니까?

ϵ

$\epsilon$

r

$r$

— Sasho Nikolov

첫 번째 질문과 관련하여 더 자세한 내용을 추가했습니다.

— Marcos Villagra