일반 언어 클래스를 캡처하는 FO의 최소 확장은 무엇입니까?

맥락 : 논리와 오토마타의 관계

Büchi의 정리에 따르면 문자열에 대한 Monadic 2 차 논리 (MSO)는 일반 언어 클래스를 캡처합니다. 증명은 실제로 문자열을 통해 존재하는 MSO ( 또는 EMSO )가 일반 언어를 캡처하기에 충분 하다는 것을 보여줍니다 . 이것은 일반적인 구조에 비해 가 보다 엄격하게 표현하기 때문에 다소 놀라운 일 입니다. $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

내 (원래) 질문 : 일반 언어에 대한 최소한의 논리?

일반 구조에 비해 보다 표현력이 떨어지지 만 문자열에 대해 고려할 때 여전히 일반 언어 클래스를 포착 하는 논리가 있습니까? $\exists\text{MSO}$

특히, 최소 고정 소수점 연산자 (FO + LFP)로 확장 할 때 문자열을 통해 FO가 일반 언어의 조각을 캡처하는 방법을 알고 싶습니다. 내가 찾고있는 것에 대한 자연스러운 후보 인 것 같습니다 ( 가 아닌 경우 ). $\exists\text{MSO}$

첫 번째 답변

따라 @ 마코토 가나자와의 대답은 모두 FO (LFP)보다 TC 이진 관계의 전이 폐쇄의 연산자 일반 언어보다 FO (TC) 캡처. 확장 기능이 일반 언어 클래스를 정확하게 캡처하고 다른 언어는 캡처하지 않는 방식으로 TC를 다른 연산자 또는 연산자 세트로 대체 할 수 있는지 여부는 여전히 남아 있습니다.

우리가 알고 있듯이 1 차 논리만으로는 충분하지 않습니다. 일반 언어의 적절한 하위 클래스 인 별이없는 언어를 캡처하기 때문입니다. 전형적인 예로 언어 패리티 FO 문장을 사용하여 표현할 수 없습니다. $\;\;=(aa)^*$

업데이트 된 질문

여기 내 질문에 대한 새로운 표현이 있습니다.

문자열을 인수 할 때 FO +이 확장이 정규 언어 클래스를 정확히 캡처하도록 1 차 논리 의 최소 확장은 무엇입니까 ?

여기에서, 확장은 일반 언어 클래스 (문자열을 인수 할 때)를 캡처하는 모든 확장 중에서 가장 표현력이 적 으면 (일반 구조를 인수 할 때) 최소입니다.

— 야 노마
소스

내가 실수하지 않으면

-calculus는 실제로 문자열을 통한 MSO와 같습니다.

μ

$\mu$

— Sylvain

@ 실뱅, 어떤 참조?

미적분 에 대해서는 아무것도 모른다.

μ

$\mu$

— Janoma

이 입증 된 것으로 보인다 dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 에 무한한 나무에 대한, 그리고 dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 MSO의 bisimulation 불변 단편 동등성에 대한 임의의 구조에.

— Sylvain

나는 많은 개념이 나에게 새로운 것을 두려워하지만 두 번째 논문을 살펴보고 있습니다. 특히, 나는 bisimulation-invariant transition 시스템에 대해 몰랐습니다. DFA는 전이 시스템의 특정 사례 인 것처럼 보이지만 이중 시뮬레이션이 변하지 않는지 모르겠습니다. 만약 그렇다면, 그것은 내 질문의 일부에 답할 것입니다 (정규 언어에 대해서는 표현력이 떨어지는 또 다른 논리가있을 수 있습니다). 그렇지 않다면, 아무 말도 할 수 없다고 생각합니다. 왜냐하면 현만 고려할 때 여전히 동등성이있을 수 있기 때문입니다.

— Janoma

전이 시스템으로 볼 수있는 두 개의 유한 단어 는 동형 인 경우 이분법입니다. (제 종이, 단어의 표기법에서

에서

와

전이 시스템으로 볼 수있다

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— 실뱅

FO (LFP)는 정렬 된 구조에서 PTIME을 캡처하고 문자열은 정렬 된 구조입니다. 따라서 FO (LFP)가 정의 할 수있는 언어에는 모든 일반 언어가 포함됩니다. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— 가나자와 마코토
소스

우수한. TC ^ 1과 TC ^ 2의 의미를 잘 모르겠습니다. 오타입니까? 내가 아는 한, 책에서 사용 된 표기법은 전이 폐쇄 로 FO를 확장하는 경우 FO (TC) 이고 결정 론적 전이 폐쇄 로 FO를 확장하는 경우 FO (DTC)이며 다르게 정의됩니다. 그래도 당신이 언급 한 운동을 찾지 못했습니다. 여전히 정규 언어를 캡처 할 수있는 TC보다 표현력이 낮은 연산자가 있는지 여부는 여전히 남아 있습니다. 그에 따라 질문을 업데이트하겠습니다.

— Janoma

이 답변은 약간 늦었지만 각 유한 그룹 (또는 각 유한 단순 그룹에 대해 동등하게)에 대해 일반화 된 그룹 수량자를 연결하여 일반 언어만을 얻을 수 있다고 알려져 있습니다. 예를 들어, Zoltan Esiky와 Kim G. Larsen의 "Lindstrom Quantifiers에 의해 정의 된 정규 언어"( http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf )를 참조하십시오 .

더욱이, 이것은 구문 단일체를 분할하는 모든 그룹에 대한 정량자가 이용 가능한 경우에만 정규 언어가 정의 될 수 있다는 점에서 최적이다.

— 벤 스탠 벤
소스

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나는 당신이 관심을 가질만한 참고 자료를 더 발견했습니다.

$^1$

— 가나자와 마코토
소스