솔로우 모델 : 정상 상태 v 균형 성장 경로

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자, 저는이 모델에서 Steady State 개념과 균형 성장 경로를 구별하는 데 실제로 문제가 있습니다.

와이 = {케이}^{β} (ㅏ 엘)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

효과적인 근로자 당 자본에 대한 안정적인 상태 값을 도출하도록 요청 받았습니다.

{케이}^{※} = {(\frac{에스}{엔 + 지 + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

자본 대 생산량 (K / Y)의 정상 상태 비율뿐만 아니라 :

\frac{{케이}^{에스 에스}}{{와이}^{에스 에스}} = \frac{에스}{엔 + 지 + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

나는이 두 가지 벌금을 모두 찾았지만, "자본의 한계 생산물 인 dY / dK의 정상 상태 가치"를 찾아 달라는 요청을 받았다. 여기 내가 한 일이 있습니다.

와이 = {케이}^{β} (ㅏ 엘)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

미디엄 피 케이 = \frac{디 와이}{디 케이} = β {케이}^{β - 1} (ㅏ 엘)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

정상 상태에서 K를 대체 (위의 K / Y 비율에 대해 정상 상태를 계산할 때 계산) :

{케이}^{에스 에스} = ㅏ 엘 {(\frac{에스}{엔 + 지 + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

미디엄 피 {케이}^{에스 에스} = β (ㅏ 엘)^{1 - β} {[ㅏ 엘 {(\frac{에스}{엔 + 지 + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

미디엄 피 {케이}^{에스 에스} = β {(\frac{에스}{엔 + 지 + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

먼저 MPK의 정상 상태 값에 대한이 계산이 올바른지 알아야합니까?

둘째, 균형 성장 경로 "아래에서"로 수렴되는 경제를 위해 자본 산출 비율과 자본의 한계 생산물의 시간 경로를 스케치하라는 요청을 받았습니다.

정상 상태가 아닌 균형 잡힌 성장 경로가 무엇인지 이해하고 계산을 사용하여 이러한 그래프가 어떻게 표시되는지 이해하는 데 문제가 있습니다.

매머드 게시물에 대해 죄송합니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다. 미리 감사드립니다.

— 제임스 베이커
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이것은 정확성을위한 시도가 혼란과 오해를 야기 할 때입니다.

당시에는 성장 모델에 기술 진보가 포함되지 않았으며 일인당 규모 가 일정한 장기 균형이 이루어졌습니다 . 구두로, "정상 상태"라는 용어는 그러한 상황을 설명하기에 적절 해 보였습니다.

그런 다음 Romer과 내생 적 성장 모델이 등장하여 기존 모델의 외생 적 성장 요인 (인구 제외)을 포함하여 이전 모델을 시작했습니다. 그리고 "갑자기", 1 인당 항은 장기 평형에서 일정하지 않았지만 일정한 속도로 성장했다 . 초기에 문헌은 그러한 상황을 "성장률의 안정된 상태"로 설명했다.

그런 다음 직업 인당 크기가 증가하고 있기 때문에 여기에 "정상"이 단어를 사용하는 것이 정확하다 "같은 것을 생각납니다. 무엇 발생하는 모든 크기는 것입니다 성장 에서 균형 잡힌 그 비율이 유지되도록 동일한 속도로 즉 속도 (및 그리고 그들이 자라기 때문에 그들은 길 을 따라갑니다 ... "유레카! :"균형 성장 경로 "라는 용어가 탄생했습니다.

... 예를 들어, "안장 경로"는 실제로 단계 다이어그램 의 경로 이지만 "균형 성장 경로"는 단지 포인트라는 것을 기억해야하는 학생들의 불만에 (최소한) 좌절 합니다. (실제로 위상 다이어그램을 작성하고 좋은 오래된 장기 평형을 얻기 위해 우리는 효과적인 근로자 당 규모를 표현하며 이러한 규모는 전통적인 정상 상태를 유지합니다. 그러나 우리는이를 "균형 성장 경로"라고 부릅니다. 개인 주의적 접근 방식에서 우리가 관심을 갖는 1 인당 규모가 계속 증가하기 때문입니다).

따라서 "균형 성장 경로"= "노동 효율 단위당 꾸준한 규모의 상태"이며, 단계 다이어그램의 나머지를 알아낼 수 있습니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
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내 이전 답변 코멘트에서 사용자 @denesp과의 대화에 따라, 나는 다음을 명확히해야한다 : 우리는 기본 솔로우 성장 모델에 관한 사용하는 일반적인 그래픽 장치 (예를 들어 볼 여기에 , 그림 2) 위상도 아닌, 합리적으로 우리는 제로 변화 위치를 포함하는 것을 "위상 다이어그램"이라고 부르고, 이들의 교차점을 동적 시스템의 고정 점으로 식별하고 안정성 특성을 검사합니다. 그리고 이것은 우리가 Solow 모델을 위해하는 것이 아닙니다. 그래서 그것은 부주의 한 용어 사용이었습니다.

그럼에도 불구하고 공간 에서 Solow 성장 모델에 대한 "반상 다이어그램"을 그릴 수 있습니다 . "노동 효율 단위당"으로 기호를 이해하면 미분 방정식 시스템이 있습니다 ( ). $(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{케이} = 에스 와이 - (엔 + δ + 지) 케이

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{와이} = {에프}_{케이}^{'} (케이) \cdot \dot{케이}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$ 동적 인 경향을 보여주기 위해 제로 변화 방정식을 약한 불평등으로 쓰면

\dot{케이} \geq 0 ⟹ 와이 \geq \frac{엔 + δ + 지}{에스} 케이

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{와이} \geq 0 ⟹ \dot{케이} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

따라서이 시스템은 단일 영점 변경 궤적을 직선으로 제공합니다. 고정 점을 식별하기위한 교차점이 없음 우리는 무엇을 할 수 있습니까? 실제로 공간은 면적이 아니라 선이기 때문에 일차원 이기 때문에 다이어그램에 생산 함수를 그려라 . 그럼 우리는 얻는다 $(y,k)$

역학적 경향을 나타내는 수평 / 수직 화살표 (모두 전술 약한 부등식에서 적절히 올 및 때 제로 변화 궤적 위에 성장하는 경향이있다). 그런 다음 와 가 점선 (제작 함수)을 따라 이동하도록 제한되었으므로 시작 위치에 관계없이 고정 점을 향해 이동합니다. 여기서 생산 함수 그래프는 본질적으로 수렴이 단조이기 때문에 장기 평형을 향한 경로를 나타냅니다. $y$ $k$ $y$ $k$

— 알레 코스 파파도풀로스
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