봉투 역설

봉투가 두 개 있습니다. 하나는 돈을 포함 하고 다른 하나는 돈을 포함합니다. 정확한 양 " "는 나에게 알려져 있지 않지만, 나는 위를 알고 있습니다. 봉투 하나를 골라서 엽니 다. 내가 볼 , 그 돈을 분명히 어디 .$x$$2x$$x$$y$$y \in \{x, 2x\}$

이제 봉투를 보관하거나 전환하라는 제안을 받았습니다.

전환 예상 값은 입니다. 봉투를 유지하는 데 필요한 값은 입니다.$(\frac{1}{2} \cdot 2y + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$$y$

항상 봉투를 바꿔야 할 것 같습니다. 내 두 가지 질문 :

이 추론이 맞습니까?

봉투를 열고 금액을 볼 수 없다면 무기한으로 전환 할 수있는 옵션이 제공됩니까?$y$

다음은이 문제에 대한 "예상 유틸리티 최대화 / 게임 이론적"접근 방식입니다 (대시적인 이론적 확률로). 그러한 틀에서 답은 분명해 보인다.

가옥

우리는 들어 있음을 절대 정직 말된다 엄격하게 긍정적 인 금액, 다음과 같은 두 가지 티켓 상자에 넣고 : 할당 된 식별 번호가 과 할당 된 식별 번호 . 그런 다음 Bernoulli 랜덤 변수 에서 추첨을 실행하고 결과와 발생한 이벤트를 기반으로 및 의 양 을 봉투 와 에 넣었습니다 . 우리는 의 가치가 무엇인지, 또는 어느 봉투에 어떤 금액이 들어 갔는지 알 수 없습니다.$x$$\{A=x, B= 2x\}$$1$$\{A=2x, B= x\}$$0$$(p=0.5)$$x$$2x$$A$$B$$x$

첫 번째 사례 : 봉투를 열지 않고 전환 할 수있는 옵션이있는 봉투를 선택하십시오.

첫 번째 문제는 봉투를 어떻게 선택 합니까? 이것은 환경 설정과 관련이 있습니다. 따라서 유틸리티 함수 하여 유틸리티 최대화가 예상 된다고 가정하십시오 .$u()$

여기서는 봉투를 나타내는 두 개의 이분법 무작위 변수 인 와 와 그 양을 고려하여 확률 적 구조를 모델링 할 수 있습니다. 각각의 지원은 입니다. 그러나 그들은 독립적이지 않습니다. 따라서 공동 분포부터 시작해야합니다. 표 형식에서 관절 분포와 해당 한계 분포는 다음과 같습니다.$A$$B$$\{x, 2x\}$

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{A} \;/ \;\;\text{B} \rightarrow & x & 2x & \text {Marg A} \\ \hline \hline x & 0 & 0.5 & 0.5\\ \hline 2x & 0.5 & 0 & 0.5 \\ \hline \text{Marg B} & 0.5 & 0.5 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$

이것은 와 가 동일한 한계 분포를 가지고 있음을 알려줍니다 .$A$$B$

그러나 이것은 봉투를 선택하는 방법이 중요하지 않다는 것을 의미합니다. 항상 동일한 예상 유틸리티를 얻을 수 있기 때문입니다 .

$$0.5 \cdot u(x) + 0.5\cdot u(2x)$$

여기서 직면하고있는 것은 두 개의 동일한 도박 (각 봉투)에 대한 복합 도박 (봉투 선택 방법)입니다. 확률 , 또는 그 사이에있는 (및 대해 보완 적으로 ) 를 선택할 수 있습니다 . 중요하지 않습니다. 우리는 항상 동일한 기대 유틸리티를 얻을 것입니다. 위험에 대한 우리의 태도는 여기서 중요한 역할을하지 않습니다.$A$$1$$0$$B$

우리는 봉투를 선택하고 라고 말하고 있습니다. 이제 우리가 기대하는 유틸리티는 무엇입니까? 를 선택하기 전과 정확히 동일 합니다. 어떤 방식 으로든 봉투를 고르더라도 내부의 확률에는 영향을 미치지 않습니다.$A$

우리는 전환 할 수 있습니다. 우리가 해보면 봉투 들고 있습니다. 이제 유틸리티는 무엇입니까? 이전과 동일합니다 .$B$

이것은 우리에게 세계에서 가능한 두 가지 상태입니다 . 선택하거나 선택하십시오 . 어떤 선택을하든, 세계의 두 주 모두 우리가 선택한 / 가정 한 추진력과 동일한 가치를 의미합니다 (예 : 기대되는 유용성을 최대화).$A$$B$

따라서 여기서는 전환에 무관심합니다. 실제로 무작위화할 수도 있습니다.

2 차 사례 : 이후 전환 옵션으로 봉투 열기

이제 골라서 열어서 안에있는 것으로 가정하자 . 이것으로 변화가 있습니까? $A$$y \in \{x, 2x\}$

보자 궁금하다

$$P(A = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

그런데, 랜덤 변수되는 샘플 공간 정의한다. 전체 샘플 공간, 즉 사소한 시그마 대수에 대한 컨디셔닝은 확률이나 예상 값에 영향을 미치지 않습니다. " 가능한 모든 값이 실현 될 수 있다는 것을 알고 있다면 의 가치는 무엇 입니까?" 효과적인 지식을 얻지 못 했으므로 우리는 여전히 원래 확률 론적 구조에 있습니다. $\{x, 2x\}$$A$$A$

그러나 나는 또한 궁금합니다.

$$P(B = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

이벤트 의해 생성 된 시그마 대수로 올바르게 표시되는 조건문 은 무작위 벡터 가있는 전체 제품 샘플 공간입니다. 정의되었습니다. 위의 관절 분포 표에서 관절의 확률 할당은 한계 값의 확률 할당과 동일하다는 것을 알 수 있습니다 (측정 값 0의 두 이벤트가 존재하기 때문에 "거의 확실하게"자격). 따라서 여기서도 전체 표본 공간 에서 의 확률을 기본적으로 조정합니다 . 봉투를 여는 우리의 행동은 의 확률 적 구조 에도 영향을 미치지 않았다 .$\big \{A \in \{x, 2x\}\big\}$$(A,B)$$B$$B$

의사 결정과 함께 게임 이론을 입력하십시오. 봉투를 열었으며 전환 여부를 결정해야합니다. 전환하지 않으면 유틸리티 . 전환하면 다음 두 가지 가능한 상태에있게됩니다.$u(y)$

$$y = x, u(A) = u(x) \implies u(B) = u(2x)$$ $$y = 2x, u(A) = u(2x)\implies u(B) = u(x)$$

실제로 어떤 상태를 유지하는지는 알지 못하지만 위의 설명에 따르면 각 상태의 확률은 입니다. $p=0.5$

우리는 우리의 상대가 "성격"인 게임으로이 문제를 모델링 할 수 있습니다 우리가 확실하게 무작위 전략을 그 자연 재생을 알고있는 경우 에 : 와 함께 , . 그러나 우리는 또한 우리가 전환하지 않으면 보상이 확실하다는 것을 알았습니다. 여기에 일반적인 형태의 게임이 있습니다.$p=0.5$ $y=x$$p=0.5$$y=2x$

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2x) & u(x) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

우리는 대체하도록 유혹을한다 및 위해 . 는 알려져 있고 확실한 대가입니다. "Switch"전략의 대가는 실제로 알려져 있지 않습니다 ( 의 값을 모르기 때문에 ). 따라서 대체를 반대로해야합니다 . 만약 후 , 그리고 만약 후 . 여기 다시 게임이 있습니다 :$u(x)$$u(2x)$$u(y)$$u(y)$$x$$y=x$$u(2x) = u(2y)$$y=2x$$u(x) = u(y/2)$

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2y) & u(y/2) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

이제 행렬의 모든 대가가 알려져 있습니다. 순수한 지배적 전략이 있습니까?

"Switch"전략의 예상 보수는

$$E(V_S) = 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2)$$

"Do n't Switch"전략의 예상 결과는

$$E(V_{DS}) = u(y)$$

우리는 경우 전환해야

$$E(V_S) > E(V_{DS}) \implies 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2) > u(y)$$

그리고 지금 은 위험에 대한 태도가 중요합니다. 위험을 감수하고 중립적 인 행동을 취해야한다고 추론하는 것은 어렵지 않습니다 .

위험 회피 행동 과 관련 하여 우아한 결과를 얻습니다 .

대수 (예를 들어, 제곱근)보다 "요철이 적은"(엄격히 위) 유틸리티 기능의 경우 여전히 전환해야합니다.

로그 유틸리티 경우 전환 여부에 무관합니다.$u(y) = \ln y$

대수 유틸리티 함수 (보다 엄격하게 아래)보다 "더 오목한"경우 스위치를 전환 해서는 안됩니다 .

나는 대수 사례의 다이어그램으로 닫습니다.

가정하십시오 . 그런 다음 입니다. 선 "스위치"에서 기대 효용 거짓말의 대상이되는 라인입니다. 자연은 전략을 수행하기 때문에 실제로는 일 것입니다. 이는 의 중간 점입니다 . 이 시점에서 로그 유틸리티를 사용하면 "Do n't Switch"에서 정확히 동일한 유틸리티를 얻을 수 있습니다 예 : 이 숫자 예제의 경우 .$y=4$$y/2 =2, 2y = 8$$Γ-Δ-Ε$$50-50$$\Delta$$Γ-Δ-Ε$$\ln(4)$

봉투 E1 을 열고 해당 값이 E1 = Y 이면 다른 봉투 E2 의 값이 {E2 = Y / 2, E2 = 2Y}에있는 것이 사실 입니다.

해당 엔벨로프의 예상 값이 (Y / 2) * Pr (E2 = Y / 2) + (2Y) * Pr (E2 = 2Y)이기도합니다 .

오류는 Y 가 무엇이든 Pr (E2 = Y / 2) = Pr (E2 = 2Y) = 1/2 이라고 가정합니다 . 이것을 보여주는 간단한 방법은 각 봉투에 다양한 명칭의 미국 지폐가 포함되어 있다고 가정하는 것입니다. 경우 Y는 $ 1 = 위해, 그것은 불가능하다 E2가 될 Y / 2 .

좀 더 엄격한 증거가 여기에 제공하기에는 너무 상세하지만, 그 요약은 먼저 모든 값 Z 에 대해 Pr (Z / 2 <= E2 <Z) = Pr (Z <= E2 <2Z)라고 가정해야 합니다. 이것은 본질적으로 마지막 단락에서와 동일한 가정이며 값의 범위로 확장되었습니다. 이 어떤 값에 해당하는 경우하지만 Z , 그 의미 잠을 (Z * 2 ^ (N-1) <= E2 <Z * 2 ^ (N-1)) 의 각 값에 대한 상수 N -INF 내지, inf. 불가능하기 때문에 가정은 정확하지 않습니다.

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약간 혼란 스러울 수 있으므로 예제를 사용해 보겠습니다. 두 개의 봉투 두 세트가 제공됩니다. 한 세트에는 10 달러와 20 달러가 들어 있습니다. 다른 세트에는 20과 40이 들어 있습니다. 세트를 선택한 다음 해당 세트에서 봉투 하나를 열어 20을 찾으십시오. 그런 다음 해당 세트의 다른 봉투로 전환 할 수있는 기회가 제공됩니다. 당신은해야합니까?

예, 전환해야합니다. 다른 엔벨로프로 전환하여 예상되는 이득은 [(20-10) + (20-40)] / 2 = +5입니다.

이 예 , 즉 10 또는 40이 아닌 20을 찾았다는 것은 질문에 설명 된 조건에 맞는다는 점에 유의하십시오. 따라서 솔루션이 작동합니다. 그러나 실험 자체는 그 설명에 맞지 않습니다. 10을 찾거나 40을 찾은 경우 다른 봉투가 20 일 확률은 100 %입니다. 기대 이익은 각각 +10과 -20입니다. 그리고 확률에 대해 세 가지 가능한 이득을 평균하면 세 가지 값을 얻을 수 있습니다. 10/4 + 5/2-20/4 = 0입니다.

전체 실험의 무작위 화 절차를 지정하지 않았기 때문에 일반적으로 문제를 해결할 수 없습니다.

그러나 Y는 선택한 봉투의 값이고 X는 다른 봉투의 값입니다. 정답은 - 조건부 기대 값 입니다. 그러나 가장 일반적인 Y 분포를 가정하면 Y는 모든 에서 균일하게 도출됩니다 . 그러나 이고, Borel–Kolmogorov 역설에 의해 기대는 해결할 수 없습니다.$E[X|Y=y]$$\mathbb{R}$$Pr(Y=y)=0$