위험 중립 에이전트가있는 도덕적 위험

우리는 주체가 위험을 회피하고 에이전트가 위험 중립 인 숨겨진 행동을 가진 주체 에이전트 모델을 가지고 있습니다. 또한 두 가지 수준의 출력이 있다고 가정합니다. $x$ 과 $x'$ (와 $x'>x$ ) 및 두 가지 조치 $a,a'$ . 밝히다 $p(a),p(a')$ 의 확률 $x'$ 행동 아래 $a,a'$ 각기. 또한 에이전트의 행동 불능 $a'$ 이다 $-1$ . 관련 임금 $x,x'$ 아르 $w,w'$ 각기.

내 문제는 최적의 계약이 필요하다는 것을 보여주는 방법을 잘 모르겠다는 것입니다 $x'-w' =x-w$ 즉, 위험 중립적 인 에이전트는 프로젝트와 관련된 모든 가변성을 취합니다.

나는 문제를 공식화한다 (교장이 유도하기를 원한다고 가정) $a'$ 그렇지 않으면 내 질문은 사소한 것입니다)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

성

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

특히, "표준"개별 합리성 ( multiplier) 및 인센티브 호환성 ( multiplier) 제약 조건에 따라 주요 예상 보수를 최대화하여 문제를 해결하려고 할 때 ( 주체가 비용이 많이 드는 행동 ) 나는 위에서 언급 한 결과와 일치하지 않는 두 가지 방정식으로 끝납니다. 특히: $\lambda$ $\mu$ $a'$

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

이는 분명하다 IFF에 보유하고있다 이 문제의 경우와하지 않은 (우리가 가지고 여기서 ). 또 다른 가능성은 인센티브 호환성 제약이 느슨하다고 가정하는 것입니다 (따라서 ). 주요 욕구가 가장 비용이 많이 드는 액션 유도하는 경우 즉, 유지해야하는 이유 그러나 내가 이해할 수없는 (여기에 도움) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

나는 또 다른 접근 방식은 교장의 노력의 수준, 그 기대 효용을 극대화 호출 (교장에 다시 고정 된 금액을 지급하는 선택 한 후, 에이전트 및 에이전트에 프로젝트를 "판매"가정하는 것이 온라인 읽고 ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

그래서 우리는 다음과 같은 것을 가질 것입니다 :

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ 상담원이 높은 노력을 그렇지 않으면 입니다. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

그런데 거기서 어떻게 가는가? 에이전트가 조치 를 선택하도록하는 방법 ? 고정 금액은 어떻게 결정됩니까? 왜 최적입니까? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
소스

힌트 : 설정이 주어지면 이 반드시 효율적인 작업은 아니므로 주체가 반드시이를 유도하고 싶지는 않습니다. 사람들이 그렇게 생각하기를 원하십니까?

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

@Shane 이것은 질문에 명시되어 있습니다 : "교장이 를 유도 싶다고 가정 "

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp 사실이지만, 이 실제로 효율적 인지 여부를 아는 것은 여전히 중요 합니다. 위험 중립적 에이전트를 고려할 때 프로젝트를 에이전트에게 판매하는 것이 무엇이든 상관없이 최적 일 것이기 때문입니다 효율적이라면 . 경우 효율적인 아니라 주요 욕구에 관계없이 그것을 유도 한 후 최적의 계약의 전체 개념은 흐 - 우리가 계약이 유도하는 최적의 선택의 집합에서 최적의 계약을 찾는 것입니다.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

교장은이 조치에서 교장이받는 유틸리티에 따라 금액을 지불하기 위해 지불 할 수 있습니다.

— DJ Sims

"웨지"가 음수 또는 0 일 수 있습니까?

— Alecos Papadopoulos

답변:

이 답변은 세 가지를 보여줍니다.

최대화 문제를 해결하기 위해 Lagrangian 방식이 필요하지 않습니다.
가정 할 필요가 없습니다 . $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
조건 가 최적의 계약을 위해 반드시 충족되는 것은 아닙니다. $x'-w'=x-w$

실제로 지불을 수정하십시오 . 제약 조건 주어지면 문제를 쓸 수 있습니다. 목적 함수가 에서 감소하고 있기 때문에 주체는 이 제약 조건 세트 에서 대해 가능한 가장 낮은 값을 설정하는 데 관심이 있음이 분명합니다 . 따라서 그는 $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

@Alecos_Papadopoulos가했던 것처럼 에이전트는 제한된 책임에 의해 보호된다고 가정합니다. 즉 그의 지불은 음이 아닙니다. 그렇지 않으면 문제에 반드시 해결책이있을 필요는 없습니다. 교장은 개별 합리성 제약 조건을 만족시키기 위해 항상 를 줄이고 증가시키는 것이 좋습니다. 그러나 계약 은 분명히 만족스러운 해결책이 아닙니다. 따라서 및 경우에는주의를 기울이지 않습니다. $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

조건 의미 따라서 $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

이 방정식을 목적 함수에 연결하면 교장의 문제가됩니다.

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ 이 목적 함수는 에서 감소하고 있습니다. 따라서 그는 단순히 과 합니다. 결론적으로, 등식 는 , 즉 이라고 가정하지 않는 한 만족할 이유가 없습니다. 이 후자의 방정식 으로 인한 사회적 잉여 것을 의미 로 인한 잉여 동일

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : 에이전트의 노력 비용이 프린시 펄의 예상 출력 증가에 의해 정확하게 보상되는 매우 특별한 경우입니다. 다른 모든 경우에는 있습니다.

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

에이전트가 모든 위험을 감수하지 않는 이유는 그의 행동을 관찰 할 수없고 따라서 계약 할 수 없기 때문이라고 생각합니다. 이 속성은 제한되지 않은 할당이있는 위험 공유 경제에서 사실입니다. 그러나 여기서 많은 노력을 기울 이도록 에이전트를 인센티브해야 할 필요성 때문에 할당이 왜곡됩니다.

— 올리 비
소스

(+1) 좋은 접근 방식입니다. 간단한 문제로 형식적인 것을 좋아합니다. OP의 설정에 대한 하나의 마지막 문제 : 는 임의적이므로 보장하지 않습니다 .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos

나는 "교장은 항상 감소 혜택을 누릴 수 있다고 생각하지 않습니다 및 증가 만족 개별 합리성의 제약 조건을 유지하도록." 사실이다. 나는 당신이 참여 제약을 만족시키고 유지할 수없는 경우가 있다는 것을 의미합니다.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard

@denesp 나는 그것이 사실이라고 생각한다. 음수와 충분히 작고 두 제약 조건을 모두 만족시킨다. 주체의 목적 함수는 및이 함수에 엄격히 감소 때, 충분히 작은 것이다. 따라서 교장은 를 낮추고 설정 하여 항상 더 잘 수행 할 수 있습니다 . 유한 포션은 최적이 아닙니다.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— Oliv

@Alecos Papadopoulos 감사합니다. 을 보장하고 싶은 이유는 무엇 입니까?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— Oliv

@Oliv 경우 주체 후 순수익, 음수 인 발생하는 경우가 긍정적 인 반면, 발생하는 (함께 ). 실제로 인 경우에도 가 발생 하면 조건부 유틸리티가 낮더라도 보안 주체가 조치 를 유도하려고하는 상황에 있습니다. 여기에 실제로 가장 적합한 것을 결정하려면보다 포괄적 인 치료가 필요합니다. 확실히, 우리는 모든 가정을 임시로 가정하여 문제를있는 그대로 받아 들일 수 있지만, 결국에는 이유를 밝게 설명 할 수있는 경우에만 직관에 반하는 문제를 선호합니다.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

여기서 나를 귀찮게하는 것은 다음과 같습니다. 인센티브 호환성 제약은

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... 합니다. 최적의 $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

과 결합 하면 실제로 이것이 주어진 제약 조건에서 최적이라면, 우리는 또한 $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

그러나 이것은 가정 된 최적의 솔루션이 허용 되려면 우선 순위에 대한 추가적인 필수 제약 조건이다. 실제로 그러한 제약이 가정 되더라도, 어떤 경우에도 문제의 일반성을 눈에 띄게 줄입니다 (일반적인 것을 보여주기 위해, 즉 에이전트의 위험 중립성이 솔루션에 미치는 영향).

그럼에도 불구하고, 좀 더 공식적으로 작업합시다. 는 0 일 수 있지만 음수가 아닌 것으로 가정합니다 . 이는 불평등 제약 조건, 음이 아닌 결정 변수 및 음이 아닌 승수를 갖는 정상적인 형태의 최대화 문제입니다. 문제의 완전한 라그랑주 인은 (나는 명백한 방식으로 표기법을 압축 할 것이다), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

필수 1 차 조건은

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

그리고 와 유사하게 . 이 결과 $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

먼저 제약 조건을 위반하기 때문에 두 임금이 모두 0이 될 수는 없습니다. 이를 감안할 때 이 바인딩 될 가능성을 고려하십시오 (따라서 ). 구속력이 있고 임금이 모두 0이 아닌 경우에는 제약 조건이 반드시 위반됩니다. 그래서 우리는 결론 $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

1 차 조건은 이제

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

이제 (즉, )이면 는 동등하고 오른쪽의 마지막 항은 0과 같아야합니다. 그러나 이것은 용납 할 수없는 음의 한계 유틸리티가 필요합니다. 우리는 또한 두 임금이 모두 0이 될 수 없다는 것을 알고 있습니다. 따라서 우리는 $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

조건은 이제

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

등식 는 일반적인 유틸리티 함수 사양에 따라 의미 하며 무한대를 제외하고는 한계 유틸리티가 없습니다. 이는 제약 조건이 동일해야 함을 의미합니다 . 이 주어지면 $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

의 오른쪽이 및 의 오른쪽과 같으 므로 벨이 울립니다 . $(6)$ $(1)$ $(3)$

즉, 만약 우리가 선험적 가정된다 , 다음 의 해결책은 우리의 유효성에 도달 한 제 $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

이 추가 가정 하에서 우리는 또한

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

결합하여

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

이다 허용 . 따라서 에서 솔루션을 얻습니다. $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스