최적의 임의 입찰가

이 질문은이 웹 사이트에서 자주 읽습니다.

두 명의 플레이어가“더 높은 숫자 승리”라는 새로운 게임 쇼를 진행합니다. 둘은 별도의 부스에 들어가고 각각 버튼을 누르면 0과 1 사이의 난수가 화면에 나타납니다. (이 시점에서는 상대방의 번호를 모르지만 숫자가 표준 균일 분포에서 선택되었음을 알고 있습니다.) 첫 번째 숫자를 유지하거나 단추를 다시 눌러 첫 번째 숫자를 버리고 두 번째 숫자를 얻도록 선택할 수 있습니다. 그들이 유지해야하는 난수. 그런 다음 부스에서 나와 벽에있는 각 플레이어의 최종 번호를 확인합니다. 호화로운 대상 (금괴로 가득 찬 경우)은 높은 숫자를 유지 한 플레이어에게 수여됩니다. 플레이어가 첫 번째 숫자를 버리고 다른 숫자를 선택하기에 가장 적합한 컷오프는 어느 것입니까? 다른 방법으로, 어떤 범위 내에서 첫 번째 숫자를 유지하도록 선택해야합니까?

이것은 대칭 플레이어의 매우 이상한 경매 문제입니다 (저는 플레이어가 위험 중립적이라고 가정합니다) 또는 매우 이상한 복권 / 게임 이론 게임입니다.

수학적으로 말하는이 질문에 어떻게 접근 할 것이며 어떤 대답을 얻을 수 있습니까? 에 대한 상품이 없습니다 나 사이트의 수수께끼에 정답을 받고는, 난 그냥 궁금 해서요. 내 직감에 따르면 최적의 컷오프는 0.5입니다. 임의의 숫자를 다시 선택하는지 여부에 관계없이 상대방의 숫자보다 50-50 확률이 높거나 낮을 수는 있지만 확실하지 않습니다.

먼저 0.5 (또는 ) 컷오프 포인트가 대칭 평형으로 작동하지 않음을 보여 주면 문제에 대해 생각하거나 완전한 답을 읽을 것인지 스스로 결정할 수 있습니다. .$\frac{1}{2}$

컷오프 포인트를 . 두 선수 모두 전략 사용한다고 가정합니다 . 플레이어 와 의 숫자를 각각 과 나타내고 잠재적 인 두 번째 숫자를 와 . 이라고 가정하십시오 . 이것을 플레이어가 이길 확률 은 이는 또한 이$c_x,c_y$$c = \frac{1}{2}$$x$$y$$x_1$$y_1$$x_2$$y_2$$x_1 = \frac{2}{3}$$x$

$$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$$ $\frac{2}{3}$이 분포의 평균 .

이제 이라고 가정하십시오 . 이것을 플레이어가 이길 확률 은 그러나 만약 그가 를 그는 확률 의 승리입니다. 이므로 (및 그 환경)을 유지하는 것이 최적이 아니므로 평형 이동이 불가능합니다.$x_1 = \frac{1}{2}$$x$

$$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ $x_1 = \frac{1}{2}$ $$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$$ $\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$$x_1 = \frac{1}{2}$

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스포일러 경고

플레이어 에 컷오프 있고 플레이어 가 그리고 플레이어 이길 확률을 유지하면 플레이어 가 을 버릴 곳 이면 그가 이길 확률은 대칭이 있다고 가정 평형, 즉 입니다. (나는 다른 평형이 존재한다고 생각하지 않지만 그것을 증명하지는 못했습니다.)$y$$c_y$$x$$x_1 = c_y$$x$

$$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$$ $x$$x_1$ $$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$ $c_x = c_y = c$

당첨 확률은 의 값에서 연속적 이므로, 컷오프 값 는 경우 이 유지되고 폐기 될 때 당첨 확률이 같습니다 . 이는 $x_1$$c$$x_1 = c$$x_1$ $$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$$

개인 1이 컷오프를 선택 하고 개인 2가 과 함께 컷오프 선택한다고 가정하십시오 . 하자 사람 (1)의 마지막 숫자보다 더 큰 없다고 할 확률 . 동일 경우 과 달리. 유사하게 정의하십시오 . 이제 플롯 대한 위한 파라 메트릭 플롯 . 결과는 세 개의 선분입니다.$c_1$$c_2$$c_2\ge c_1$$p_1(x)$$x$$p_1(x)$$c_1x$$x<c_1$$c_1x+x-c_1$$p_2(x)$$p_2(x)$$p_1(x)$$0\le x\le1$

• 해당하는 ~ 중 하나 ;$(0,0)$$(c_1^2,c_1c_2)$$0\le x\le c_1$
• 한 행 에 에 대응 ;$(c_1^2,c_1c_2)$$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$c_1\le x\le c_2$
• 해당하는 ~ 중 하나입니다 .$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$(1,1)$$c_2\le x\le1$

이 세 선분은 단위 사각형을 두 부분으로 나눕니다. 그래프 아래 부분의 면적은 사람 1의 수가 더 많을 확률입니다. 일부 형상은이 영역이 . 안정적인 평형을 유지하기 위해서는이 두 부분 도함수가 모두 0이어야합니다. 즉$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$

$$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

방정식을 추가하면 이며 경우에만 가능합니다 . 방정식 중 하나로 다시 대체 하므로 안정된 유일한 균형은 입니다.$(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$$c_1=c_2$$1-c_1-c_1^2=0$$c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$