준 선형 유틸리티 : Pareto Optimality는 총 유틸리티 최대화를 의미합니까?

모든 소비자를위한 준 선형 유틸리티가 있다면 모든 파레토 최적 할당이 모든 소비자의 유틸리티 레벨의 합을 최대화한다는 것을 읽었습니다. 그건:

$\textbf{What we know:}$

$$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$$ $$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$$ $$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$$ $$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$$

$\textbf{What to show:}$

$$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$$

누구나 이것을 증명할 수 있습니까? 어떤 도움이라도 대단히 감사하겠습니다!

$\textbf{Edit:}\,$ 이것이 올바른 길인지는 모르겠지만 의 엄격한 증가 속성에 의해 선호도는 지역 비 만족도를 만족 시키며, 이는 첫 번째 복지 정리를 만족시킵니다. 이제 모든 파레토 최적 할당이 준 선형 유틸리티와 경쟁적 평형인지 여부를 알 수 있다면, 나는 무언가에있을 수 있습니다! $\phi(\,)$

편집 : 가장자리 케이스 빨다; 의견을 참조하십시오. MWG 10 장 섹션 C, D도 참조하십시오.

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해결 한다고 가정$(\vec x^*, \vec m^*)$

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

그러나 파레토가 최적이 아닙니다.

$$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$$

$$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$$

모순입니다. 유틸리티 최대화 문제에 대한 해결책이 있다면 파레토가 최적이어야합니다.

(이것은 지속적이고 증가하는 속성으로 나타납니다 )$\phi(\cdot)$

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가정 실현 가능한 파레토 최적 할당하지만 해결되지$(\vec x^*, \vec m^*)$

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

를 numeraire로 취급 하고 가 엄격하게 증가 하고 있기 때문에 가 로컬로 만족 것을 알고 있습니다. 파레토 할당은 실현 가능해야합니다.$m_i$$\phi_i(\cdot)$$u_i(\cdot)$

$$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$$

이 대체 할당이 단순히 개인에게 더 많은 를 제공하기 때문에 이것이 사실이라면 , 대체 할당은 불가능합니다. 그래서 모순이 생길 것입니다.$x$

대체 할당에서 다른 사람에게 더 많은 가 할당 되고 다른 한 사람 만 덜 할당되기 때문에 이것이 사실이면 원래 할당은 파레토 최적이 아닙니다. 그렇다고 가정하십시오. 원래 할당을 가져 와서 새로운 할당 방식 으로 를 이동 했다면 , 적어도 같은 유틸리티 수준에서 를 잃고있는 사람을 유지하기 위해 numeraire good 에 해당하는 거래가 필요 합니다. 그러나 단지 수 사선에서의 거래는 총합계 유틸리티를 결코 바꿀 수 없다 . 원래 할당에서 을 교환 할 수 있다면$x$$x$$m$$x$$m$$x$그리고 누군가를 해치지 않고 더 나은 사람을 만들 수 있습니다. 파레토가 최적이 아니었고, 누군가를 더 나은 사람으로 만들기 위해 를 과 교환 할 수 없다면 , 합산 된 총 유틸리티를 늘릴 수 없습니다. 최대화 문제에 대한 해결책.$m$$x$

이 논리는 여러 사람간에 를 다시 정렬하는 방식에 관계없이 적용됩니다 .$x$

$\square$

나는 문제가 언급하고있는 표준 순수 교환 경제에서는 그것이 사실이라고 생각하지 않는다. 다음과 같은 반례를 고려하십시오.

$I = \{1,2\}$ 및 및 입니다.$u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$$u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

실행 가능한 할당 세트를

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

할당 은 파레토 효율적이지만 유틸리티 합계를 최대화하지는 않습니다. 그 이유는 할당 이 더 높은 합계를 산출하기 때문입니다.$a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$$a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ 입니다.

PE 결과는 최대화 하지만 구체적이지 않기 때문에 정확하게 알기가 어렵습니다. 실행할 수 있음.$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

좀 더 구체적으로 설명하겠습니다. 각 에 대해 입니다. 할당은 입니다. 실행 가능한 할당 세트는 . 실용 에서 이다 , 는 엄격히 증가하고 있습니다.$i\in\{1,\ldots,I\}$$(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$$a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$$F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$$i\in\{1,\ldots,I\}$$a\in F$$u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$$\phi_{i}$

PE 할당의 정의는 표준입니다 : 는 PE가 이면 는 모든 및 일부 .$a\in F$$\nexists a'\in F$$u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$$i$$u_{i}(a')>u_{i}(a)$$i$

이제 만약 주장 PE 인 후, 에 해결책 , 또는 결정을 대한 최대화 , 명시 적 세인트 .$a$$a$$\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$x_{i}$$\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

여기서 주장을 증명하지는 않겠지 만 핵심 아이디어는 간단하며 다음과 같습니다. 가 PE이지만 최대화 문제를 해결하지 못한다고 가정 . 그런 다음 와 같은 다른 가능한 찾을 수 있습니다. . 사실, 비해 에서 상담원은 더 나빠질 수 있지만, 을 사용하여 에서와 같이 동등하게 잘 사용할 수 있습니다. 에서 나오는 유틸리티의 합계를 늘린 이후로 약간의 돈이 있었습니다.$a^{*}$$a'$$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$$a'$$a^{*}$$m_{i}$$a^{*}$$x_{i}$

이것을 말하는 또 다른 방법 에서 의 유틸리티의 합 이 . 이제 낭비가 아닌 할당 의 첫 번째 항이 동일합니다.$a\in F$$\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$a\in F$

이것에 대해 생각하는 또 다른 방법은 는 파이와 돈의 크기를 결정하고 는 재배포를 결정합니다. 준선 형성으로 를 1 단위 씩 줄이고 를 1 단위 씩 늘리면 변경되지 않습니다. 및 경우에는 해당되지 않습니다 .$x_{i}$$m_{i}$$m_{i}$$m_{j}$$m_{i}+m_{j}$$x_{i}$$x_{j}$

이는 또한 최대화 문제를 해결 하는 모든 가 PE 라는 것을 의미합니다 .$a\in F$