로젠의 대각선 엄격한 오목 조건

전략 공간 가진 명의 플레이어가 있는 게임 , 가 제한되어 있고 플레이어의 지불 기능 . Rosen의 상태 ( JB Rosen. 오목한 n- 사람 게임을위한 평형 점의 존재와 독창성. n 플레이어 게임의 내쉬 평형의 독창성에 대한 Econometrica, 33 (3) : 520-534, 1965 ) $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

지불 함수 자신의 전략에 오목하다 $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
함수 와 같은 벡터 ( 가 있습니다 는 대각선으로 엄격하게 오목합니다 $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ 은 플레이어 세트를 나타냅니다.

대각선 엄격한 오목의 개념을 정의하기 위해 fist는 다음과 같이 정의 된 함수의 '의사 구배'를 소개합니다 . 그런 다음 함수 는 에서 대각선으로 엄격하게 지배적 이라고합니다 고정 대한 매 에 다음이 포함되는 경우 : $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

처음에 인용 한 논문에서 가 대각선으로 굳어지기에 충분한 조건 은 행렬 는 대한 음수입니다 . 여기서 는 p 에 대한 의사 그라데이션 의 야곱 . 나는 행렬의 전치를 나타 내기 위해 '를 사용합니다. 대각선으로 엄격한 오목한 상태의 직관은 무엇입니까? $\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— 니지
소스

따라서 최대 를 찾으려고합니다 . 가 대각선으로 엄격하게 오목한 경우 어느 지점에서든 시작 하고 최대 값을 찾을 때까지 그래디언트 따라 가면서 시작할 수 있습니다. 낮은 검은 점에서 기울기 방향 (가파른 상승 방향)을 따릅니다. $\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

그러나 가 대각선으로 엄격하게 오목하지 않으면 임의의 지점에서 시작하고 그라디언트를 따라 다른 최대 점으로 끝날 수 있습니다 (두 개의 낮은 검은 점에서 시작하여 가장 가파른 상승 방향을 따르십시오. 두 개의 다른 지점에서.). $\sigma$

— Muxamilian
소스

답변 주셔서 감사합니다! 당신이 쓰는 것은 본질적으로 Rosen의 원본 논문의 결과 중 하나입니다. 직관을 말할 때 게임에서 전략적 상호 작용의 어떤 속성이 엄격한 오목 성 조건에 의해 포착되는지를 의미합니까? 예를 들어,이 조건은 다른 플레이어의 행동이 플레이어의 보수에 미치는 영향 또는 플레이어의 행동이 게임에서 다른 플레이어의 보수에 어떤 영향을 미치는지에 대해 설명합니다. 질문에서 충분히 명확하지 않으면 죄송합니다.

— Nidjsi