LEN- 모델 동등성

시작 위치는 불완전한 정보 (도덕적 위험)와 다음과 같은 속성을 가진 주요 에이전트 모델입니다.

에이전트 유틸리티 : $u(z)=-e^{(-r_az)}$
주요 유틸리티 : $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
노력 수준 $e\in \Bbb R$
결과 $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
계약 : , $w(x)=a+bx$

여기서 $r_A$ 및 $r_P$ 는 각각 상담원과 주체에 대한 절대 위험 회피의 화살표 – 지표입니다.

대리인의 노력이 보이지 않을 때 교장에게 대리인에게 제공 할 최적의 계약을 찾고 있습니다. 교장의 유틸리티는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

나는 다음과 같은 동등성을 가지고 있음을 보여주고 싶다. 이는 교장의 유용성을 극대화하는 것이 다음과 같은 동등성의 RHS로 작성 될 수 있음을 의미한다.

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

여기서 $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ 는 예상 값이 이고 분산이 정규 랜덤 변수 의 밀도 함수입니다 . $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

LHS에서 명시 적 형식을 사용하여 $f(x|e)$ 조금 조작 한 다음 반복하지만 동등성을 얻을 수 없었습니다.

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
소스

주요 포인트는 교장의이 보수에서 유틸리티 예정이다 노력의 특정 수준에 조건을 로 쓸 수있다 $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

다시 말해서, 부는 정상적으로 분배되기 때문에 지수 유틸리티는 단순한 '평균-분산'표현을 갖습니다. 파생은 여기를 참조 하십시오 .

I는 주체의 보수 것을 가지고 동일 . 그런 다음 의 (조건부) 평균 및 분산을 계산하는 것이 간단합니다 . $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

교장의 예상 유틸리티는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$