CES : 생산 기능 : 대체 탄성

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나는 그것을 증명해야한다 $\sigma = 1/(1 + \rho)$ CES 생산 기능 :

\begin{aligned} 큐 = (엘^{ρ} + {케이}^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

나는 다음 방정식을 풀어야한다는 것을 알았습니다.

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{디 (케이 / 엘)}{케이 / 엘}}{\frac{디 아르 자형 티 에스}{아르 자형 티 에스}} = \frac{디 (케이 / 엘)}{디 아르 자형 티 에스} \frac{아르 자형 티 에스}{케이 / 엘} = \frac{디 (케이 / 엘)}{디 ((케이 / 엘)^{1 - ρ})} \frac{(케이 / 엘)^{1 - ρ}}{케이 / 엘} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

그러나 나는이 표현을 다시 쓰는 법을 모른다. $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
소스

Cobb Douglas 프로덕션의 예제를 확인하고 CES에서이를 해결하십시오. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— 둔

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생산 기능은 다음과 같습니다.

큐 = (엘^{ρ} + {케이}^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ MPL과 MPK는 각각 다음과 같습니다.

큐_{엘} = \frac{\partial 큐}{\partial 엘} = \frac{1}{ρ} \cdot (엘^{ρ} + {케이}^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot 엘^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ k를 l로 대체 할 수있는 비율은 얼마입니까?

어디 $f$ 단일 변수의 차별화 가능한 실수 함수입니다. x (점 x에서)에 대해 f (x)의 탄성을 정의합니다.

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

다음과 같이 변수를 변경하십시오. $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) 및 $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
참고 $v' = f'(x) / f(x)$ 과 $u'=\frac{1}{x}$ 그래서 $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
이것은 또한 해결 한 결과입니다. $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ 때문에 $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ 우리는 체인 규칙을 통해 해결합니다. $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ 정확히 정의입니다 $\sigma(x)$ .

이제 탄력성 문제를 해결합시다.

엘 엔 (\frac{큐_{케이}}{큐_{엘}}) = 엘 영형 지 (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (엘^{ρ} + {케이}^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot 엘^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (엘^{ρ} + {케이}^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot {케이}^{ρ - 1}}) = 엘 엔 (\frac{엘}{케이})^{ρ - 1} = (ρ - 1) 엘 엔 (엘 / 케이) = (1 - ρ) 엘 엔 (케이 / 엘)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow 엘 엔 (케이 / 엘) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot 엘 엔 (\frac{큐_{케이}}{큐_{엘}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

그래서 $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
소스

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ 과

ρ

$\rho$ 노출을 단순화하기 위해 MPL 및 MPK 파생 상품에서 감소 될 수 있습니다.

— garej

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위의 답변에 약간을 추가하고 싶습니다. 나는 이전에 의견을 썼지 만, 논쟁을 조금 더 구체화하는 것이 도움이 될 것이라고 생각했다.

생산의 두 요소 인 노동을 사용하는 회사가 있습니다 $l$ 그리고 자본 $k$ 출력을 생성합니다. 출력 수량이 기록됩니다 $q$ .

단일 변수 의 함수 탄성은 독립 변수의 백분율 변화에 대한 종속 변수의 백분율 응답을 측정합니다.

반면에, 두 요인 입력 사이의 대체 탄성은 상대 한계 제품의 백분율 변화에 대한 양의 비율의 백분율 반응을 측정합니다.

위와 관련하여 우리는 탄성이

\begin{aligned} σ \equiv \frac{디 \ln (케이 / 엘)}{디 \ln (미디엄 피 엘 / 미디엄 피 케이)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

어디 $MPL$ 노동의 한계 생산물이며 $MPK$ 자본의 한계 생산물이다.

내가 이것을 쓰는 이유는 위의 답변에 작은 오류가 있기 때문입니다. "이제 탄성 문제를 해결하자"직후의 방정식에서 $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ 바로 다음에 대한 표현식 $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ 분모를 사용하여 분자를 전환합니다.

이걸 고치면 $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ 가깝지만 정확하지는 않습니다. 정답을 얻으려면 위의 답변과 정확히 동일한 계산을 수행하십시오.

\ln 케이 / 엘 = \frac{1}{1 - ρ} \cdot \ln \frac{큐_{엘}}{큐_{케이}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

그것을 얻기 위해 $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ 위의 이유로 수정 한 경우

— 수학 질문 1
소스