이상한 Leontief 생산 기능

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나는 마이크로 관련 연습을 풀고 있는데이 이상한 Leontief 생산 함수를 발견했습니다 :

Q = {(min {K, L})}^{b}

$Q =\left(\min\{K, L\} \right)^b$

어떻게 해결 해야할지 모르겠습니다. 입력 수요, 비용 함수 등을 찾아야합니다. 로 해결 $K^b=L^B=Q$ 한 다음 표준 Leontief로 평소대로 진행해야합니까?

macroeconomics leontief

— 호날두 777
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이것은 이상한 경우가 아니라, 1도 균질 하지 않고 도 균질 한 Leontief 생산 함수입니다 $b$ . CES 프로덕션 기능과 Leontief 기능을 연결하면이를 확인할 수 있습니다.

고려

Q_{b} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{b}{ρ}}, b > 0

$Q_b=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{b}{\rho}},\;\; b>0$

\Rightarrow Q_{b} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{b}{ρ}}}

$\Rightarrow Q_b = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{b}{\rho}}}$

때 제한을 취하십시오 . 한계에 관심이 있기 때문에 간격을 무시하고 를 엄격하게 양수로 취급 할 수 있습니다 . $\rho \rightarrow \infty$ $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

일반성을 잃지 않고 . 우리는 또한이 . 그런 다음 다음과 같은 불평등이 있는지 확인합니다. $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{b / ρ} (1 / L^{b}) \leq Q_{b}^{- 1} \leq (1 / L^{b})

$(1-a)^{b/\rho}(1/L^{b})\leq Q_b^{-1} \leq (1/L^{b})$

\begin{matrix} (1) & \to (1 - a)^{b / ρ} (1 / L^{b}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{b}{ρ}} \leq (1 / L^{b}) \end{matrix}

$\rightarrow (1-a)^{b/\rho}(1/L^{b})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{b}{\rho}} \leq (1/L^{b}) \tag{1}$

받는 내내 높여 전원 얻을 수 있습니다 $\rho/b$

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$ 이 가정은 분명히 가정합니다. 다음의 첫 번째 행으로 돌아갑니다 및

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{b / ρ} (1 / L^{b}) = (1 / L^{b})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{b/\rho}(1/L^{b}) =(1/L^{b})$

에서 의 중간 항을 샌드위치 하므로 $(1)$ $(1/L^{b})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{b} = \frac{1}{1 / L^{b}} = L^{b} = [min {K, L}]^{b} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_b = \frac {1}{1/L^b} = L^b = \big[\min\{K,L\}\big]^{b} \tag{3}$

자세한 내용은 이 답변을 참조하십시오 .

— 알레 코스 파파도풀로스
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생산 함수 됩니다. 생산자의 비용 최소화 문제는 노동 가격이 이고 자본 가격이 인 경우 최소 단위의 생산 비용을 최소화하는 노동 자본 조합을 찾는 것으로 정의됩니다 . $Q = \left(\min(K, L)\right)^\beta$ $y$ $w$ $r$

\begin{array}{rcl} min_{L, K} & w L + r K \\ s.t. & {(min (K, L))}^{β} \geq y \\ K \geq 0, L \geq 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \min_{L, K} && wL + rK \\ \text{s.t.} && \left(\min(K, L)\right)^\beta \geq y \\ && K \geq 0, \ L \geq 0 \end{eqnarray*}$

이 문제에 대한 해결책 (조건부 입력 수요 함수라고도 함)은 충족하므로 관련 (최적의) 비용 함수는 다음과 같습니다.

\begin{array}{rcl} L = K = y^{1 / β} \end{array}

$\begin{eqnarray*} L = K = y^{1/\beta} \end{eqnarray*}$

\begin{array}{rcl} C (w, r, y) = (w + r) y^{1 / β} \end{array}

$\begin{eqnarray*} C(w,r,y) = (w+r)y^{1/\beta} \end{eqnarray*}$

— 아 미트
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문제 없어.

Q = {(min {K, L})}^{b}

$Q =\left(\min\{K, L\} \right)^b$

그것은 단지 당신이 먼저 와 을 비교 하고 당신의 수량 가 더 낮은 것을 전력 같음을 의미합니다 . $K$ $L$ $Q$ $b$

예 : , 및 합니다. $b=2$ $K=3$ $L=7 \implies Q = 3^2 = 9$

— 스노 람
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정의하십시오 . 여기서 입니다. $Q=q^b$ $q=min\{K,L\}$

들면 , 의 단조 변화이다 . 따라서 에 대한 해는 에 대한 해와 같습니다 . 에 대한 문제를 간단히 해결 한 다음 측면에서 문제를 해결하십시오 . $b>0$ $Q$ $q$ $q$ $Q$ $q$ $Q$

— 루코 나쵸
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