동적 최적화

2

간단한 동적 소비 절약 문제를 고려하십시오. 솔루션은 일련의 1 차 조건과 일부 경계 조건을 생성하는 Lagrangian 접근법을 사용하여 특성화 할 수 있습니다.

다른 방법은 Bellman 방정식을 사용하는 것입니다. 내가 이해하지 못하는 것은 Bellman 방정식 접근법이 어떻게 솔루션 방법론의 경계 조건에 관한 정보를 사용하지 않는 것입니까? 즉, Bellman 방정식은 기간 t와 t + 1 사이의 트레이드 오프를 갖지만 전체 예산 제한이 표시되지 않는 것 같습니다.

dynamic-optimization

— 에코 노반
소스

1

횡단 조건을 사용하고 있습니까? 로 어떤 일이 일어나는지 알려주는 것이 있습니까?

lim_{t \to \infty}

$\lim\limits_{t \to \infty}$

— Giskard

위와 같은 질문입니다. 무한 기간 모델에서는 사소하지 않은 솔루션을 원할 경우 횡단 조건이 바람직합니다. 당신 (요청자)이 그러한 조건이 있다고 가정하면, 문제가 무엇인지 잘 모르겠습니다.

— Kitsune 기병대

5

동적 프로그래밍 ( "Bellman 'Equation") 공식 은 Lagrangian / Euler 방정식 공식을 사용하는 경우 필요한 터미널 경계 조건 ( "Transversality Conditions")을 통합 합니다. 초기 조건은 여전히 두 가지 접근 방식에 필요합니다.

이유를 확인하려면 문제를 고려하십시오

{max}_{{x_{t}}} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} U (c_{t})

$\text{max}_{\{x_t\}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(c_t)$

s . t . a_{t + 1} = (1 - r) a_{t} + w - c_{t}, a_{0} given

$s.t.\;\;\; a_{t+1}= (1-r)a_t + w - c_t, \;\;\; a_0 \; \text{given}$

대한 예산 제약을 해결하고 목적 함수에 삽입하면 $c_t$

{max}_{{a_{t}}} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} U (a_{t}, a_{t + 1}), a_{0} given

$\text{max}_{\{a_{t}\}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(a_t, a_{t+1}),\;\;\;\; a_0 \; \text{given}$

다음 기간에 주식 변수를 결정 변수로 취급합니다. 이제 최적의 순서를 은 다음 문제를 해결해야합니다. $a^*_{t+1}$

max_{y} [U (a_{t}^{*}, y) + β U (y, a_{t + 2}^{*})], y feasible given a_{t}^{*}

$\max_y \big[U(a^*_t, y) + \beta U(y, a^*_{t+2})\big],\;\;\; y\;\; \text{feasible given}\;\; a^*_t$

Stokey와 Lucas의 말에 따르면, " 시퀀스에서 실행 가능한 변형 은 최적의 정책을 향상시킬 수 없습니다 $\{a^*_t\}$ . "

그런 다음 첫 번째 주문 조건을 얻습니다 ( 본질적으로 차별화 됨 ) $y$

U_{2} (a_{t}^{*}, a_{t + 1}^{*}) + β U_{1} (a_{t + 1}^{*}, a_{t + 2}^{*}) = 0

$U_2(a^*_t, a^*_{t+1}) + \beta U_1(a^*_{t+1}, a^*_{t+2}) =0$

여기서 첨자 는 부분 도함수를 나타낸다. 이것은 2 차 차이 방정식이므로 두 가지 경계 조건 이 필요합니다 . 우리는 이미 부의 초기 가치 있습니다. 우리는 하나 이상의 터미널이 필요합니다. $1,2$ $a_0$

반대로, 동적 프로그래밍 접근법을 사용하면 1 차 차분 방정식에 도달 하며 추가 경계 조건이 필요하지 않습니다.

전체 설명은 Stokey & Lucas p. 97-100.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

2

나는 당신의 투쟁이 어디에 있는지 정확히 확신하지 못합니다. 문제를 시도하고 해결하기 위해 동적 문제에서 어떤 종류의 경계 조건을 원할 수 있습니까?

우리가 두 기간 소비 절약 문제를 고려

c_{1} + s_{1} = y_{1}

$c_1 + s_1 = y_1$

c_{2} = y_{2} + (1 + R) s_{1}

$c_2 = y_2 + (1+R)s_1$

$y_1, y_2$ 는 각 기간에 되며 은 저축, 은 관심사, 는 소비입니다. 주어지면 각 기간마다 최적의 소비를 위해 풀고 싶습니다. 예산을 다음과 같이 통합 할 수 있습니다. $s_1$ $R$ $c_1, c_2$ $U(c_1, c_2)$

c_{2} = y_{2} + (1 + R) (y_{1} - c_{1})

$c_2 = y_2 + (1 + R)(y_1 - c_1)$

⟹ c_{1} + \frac{c_{2}}{1 + R} = y_{1} + \frac{y_{2}}{1 + R}

$\implies c_1 + \frac{c_2}{1 + R} = y_1 + \frac{y_2}{1 + R}$

라그랑지안 문제를 표현하십시오.

L = U (c_{1}, c_{2}) - λ (c_{1} - \frac{c_{2}}{1 + R} - y_{1} - \frac{y_{2}}{1 + R})

$\mathcal{L} = U(c_1, c_2) - \lambda(c_1 - \frac{c_2}{1 + R} - y_1 - \frac{y_2}{1 + R})$

FOC를 해결하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

U_{c_{1}} - λ = 0

$U_{c_1} - \lambda = 0$

U_{c_{2}} - \frac{λ}{1 + R} = 0

$U_{c_2} - \frac{\lambda}{1 + R} = 0$

⟹ \frac{U_{c_{1}}}{U_{c_{2}}} = 1 + R

$\implies \frac{U_{c_1}}{U_{c_2}} = 1 + R$

그러나이 문제를 Bellman으로 표현하고 원래의 통합 예산 제약 조건을 계속 유지할 수 있습니다.

max_{c_{1}, c_{2}, y_{1}, y_{2}} U (c_{1}, c_{2}) s.t. c_{1} + \frac{c_{2}}{1 + R} = y_{1} + \frac{y_{2}}{1 + R}

$\max_{c_1, c_2, y_1, y_2} U(c_1, c_2) \quad \text{s.t.} \ c_1 + \frac{c_2}{1 + R} = y_1 + \frac{y_2}{1 + R}$

대한 값 함수가있는 경우 (예, 이 계속 제공됨) $y_1$ $y_1$

V (y_{1}) = max_{c_{1}, c_{2}, y_{2}} U (c_{1}, c_{2}) s.t. y_{1} = c_{1} + \frac{c_{2}}{1 + R} - \frac{y_{2}}{1 + R}

$V(y_1) = \max_{c_1, c_2, y_2} \ U(c_1, c_2) \quad \text{s.t.} \ y_1 = c_1 + \frac{c_2}{1 + R} - \frac{y_2}{1 + R}$

Bellman 에게이 문제를 덜 사소하게 만들기 위해 대신 결정 하는 제약 조건을 가질 수 있습니다 . 그러나 그렇지 않으면 여전히 예산 제약을 문제에 통합 할 수 있습니다. $c$ $y$

— 키츠 네 기병대
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