신고전주의 적 성장 모델의 횡적 조건

신고전주의 적 성장 모델에는 다음과 같은 횡단 조건이 있습니다.

\underset{티 \to \infty}{임} β^{티} 유^{'} (씨_{티}) {케이}_{티 + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ 여기서 은 기간 의 수도 입니다.

k_{t + 1}

$k_{t+1}$

t

$t$

내 질문은 :

우리는이 조건을 어떻게 도출합니까?
부채가 누적되지 않는 경로를 배제하려면 왜 이것이 필요합니까?
왜 라그랑주 승수가 가 현재 할인 된 자본 가치입니까? $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$

economic-growth dynamic-optimization

— 네타 _1990
소스

사이의 구분을 위해 이러한 답변을 확인 횡단 성의 최적 조건 과 지불 능력 외생 제약 , economics.stackexchange.com/a/13681/61 및 economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos 파파도풀로스

나는이 글에서 횡보 조건의 직관에 대한 비 수학적, 평범한 언어 설명을 제공하려고 노력했다 : medium.com/@alexanderdouglas/… 그러나 나는 거시 경제학자가 아니기 때문에 잘못 알고있을 것이다. 그렇다면 일부 답변이 곧 표시되기를 바랍니다.

— Alexander Douglas

외부 컨텐츠에 대한 링크 만 제공하므로 주석이어야합니다. 또한, 횡단 조건은 불확실성이없는 결정 론적 모델에서도 부과되는 조건이기 때문에 기대치 형성에 대한 가정에 의존하지 않는다. 그리고 그것은 특히 정부 부채와 관련이 없으며 일반적으로 모든 자산과 관련이 있습니다. 기본적인 요점은 다음과 같습니다 : (우리의 자손이나 사회를 신경 쓰지 않는) 동기 동기를 가정 할 때, 소비되지 않은 부를 "뒤로"남겨 두는 것은 차선책입니다. 그것이 전부입니다.

— Alecos Papadopoulos

CONTD 유한 한 수평선에서는 매우 간단하며, 평소와 같이 수평선이 "무한대"가되면 다소 단순하고 자명하지 않습니다.

— Alecos Papadopoulos

답변:

유한 한 수평선의 문제에서 시작하면 횡단 조건을보다 쉽게 이해할 수 있습니다.

표준 버전에서 우리의 목표는 주제입니다. 행 주어진 과 . 연관된 라그랑지안 (승수 , 및 )은 FOC는

\underset{{씨_{티}, {케이}_{티 + 1}}_{티 = 0}^{티}}{최대} \sum_{티 = 0}^{티} β^{티} 유 (씨_{티})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} 에프 ({케이}_{티}) - 씨_{티} - {케이}_{티 + 1} & \geq 0, 티 = 0, \dots, 티 & (자원 / 예산 제약) \\ 씨_{티}, {케이}_{티 + 1} & \geq 0, 티 = 0, \dots, 티 & (음수가 아닌 제약) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

\underset{{씨_{티}, {케이}_{티 + 1}, λ_{티}, μ_{티}, ω_{티}}_{티 = 0}^{티}}{최대} \sum_{티 = 0}^{티} β^{티} 유 (씨_{티}) + λ_{티} (에프 ({케이}_{티}) - 씨_{티} - {케이}_{티 + 1}) + μ_{티} 씨_{티} + ω_{티} {케이}_{티 + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} 씨_{티} : & β^{티} 유^{'} (씨_{티}) - λ_{티} + μ_{티} & = 0, 티 = 0, \dots, 티 \\ {케이}_{티 + 1} : & - λ_{티} + λ_{티 + 1} {에프}^{'} ({케이}_{티 + 1}) + ω_{티} & = 0, 티 = 0, \dots, 티 - 1 \\ (1) & {케이}_{티 + 1} : & - λ_{티} + ω_{티} & = 0, 티 + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ Kuhn-Tucker 보완 여유 조건과 함께 : , 리소스 제약 조건은 모든 기간, 즉 모든 대해 을 바인딩해야하므로 마지막 기간 , , 합니다.

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{티} (에프 ({케이}_{티}) - 씨_{티} - {케이}_{티 + 1}) & = 0 & λ_{티} & \geq 0 \\ μ_{티} 씨_{티} & = 0 & μ_{티} & \geq 0 \\ (2) & ω_{티} {케이}_{티 + 1} & = 0 & ω_{티} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

보통 우리는 가정 모든 합니다 (이나 다 조건), 이것은 의미 모두 . 따라서 소비 FOC는 $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (삼) & β^{티} 유^{'} (씨_{티}) = λ_{티} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

조건을 살펴보면 및 의 마지막 기간 우리 얻을 무한 수평선이 확장 우리 얻을 횡단 성 조건 $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{티} 유^{'} (씨_{티}) {케이}_{티 + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

\underset{티 \to \infty}{임} β^{티} 유^{'} (씨_{티}) {케이}_{티 + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

횡단 조건의 직관은 부분적으로 "마지막 기간에는 저축이 없다"는 것입니다. 그러나 무한한 수평선 환경에는 "마지막 기간"이 없으므로 시간이 무한대로 진행될 때 한계를 극복합니다.

— Herr K.
소스

제 생각에는 최고의 파생물은 논리에 의한 것입니다. 이런 식으로 생각하십시오. 우리가 가구에게 알리는 것이 유틸리티를 극대화하는 것이라면 최적의 행동은 단지 무한한 빚을지고 무한정 소비하는 것일 것입니다. 이것은 합리적인 해결책이 아닙니다. 따라서 또 다른 최적 조건이 필요합니다. 질문 2에 답해야합니다.

유한 한 지평선 환경에서, 타당성은 마지막 기간까지 부채를 상환해야 달성 될 수 있습니다. 무한한 수평선 설정에서는 불가능합니다. 그러나 제안한 바와 같이 "채무 축적을 배제하는 것"은 조건이 너무 엄격합니다 (가속성 조건은 부채를 허용합니다!).

질문 3에 답하기 위해 이라는 용어를 살펴 보겠습니다 . 단위의 자본을 기간 t로 이동하고 소비 하는 (마진 적) 유틸리티 이익 (현재 가치 유틸리티) . 이 유틸리티 이익이 무한대에서 양수이면 "기간 무한대"에 더 많이 소비함으로써 전체 유틸리티를 증가시킬 수 있으므로 자본 경로가 최적이 아닙니다. $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

질문 1 :이 조건을 도출하기 위해, 방금 조건을 유지하지 않고 자본 경로가 최적이 아니라는 것을 보여주는 방금 논리적 논거를 만들거나 수학적 증거의 경우 예를 들어 체크 아웃 할 수 있습니다 Krusell의 메모에 따르면 (잡기가 다소 어렵지만)

— 크리스 넥타이
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