로그 선형화 뉴 케인즈 모델에서, 무엇을 , , 실제로 의미?

이것은 이상한 질문 일지 모르지만 불행히도 용어로 혼란스러워합니다. 갈리가 제안한 로그 선형화 된 새로운 케인즈 모델을 가정 해 봅시다 : http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

첫 번째 질문은 분명히 정상 값 는 로그 선형화 , 출력을 가정하지만이 는 상수 값 또는 전체 정상 출력 경로입니까? 마찬가지로, 가 장기적인 자연 비율에 따라 확률 적 요인과 오류없이 진화한다면 어떻게 출력이 진화 할 에 대해 인가?$Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

첫 번째 질문과 관련된 두 번째 질문은 가 총 출력 또는 정규화 된 출력을 나타내는 지 여부 입니다. 즉, 경제에 긍정적 인 생산 성장률이 성장할까요? 또는 확률 적 요소없이 변경되지 않는 정규화 된 출력입니까?$Y_t$$Y_t$

세 번째 질문은 실제로 무엇을 의미 하는지 입니다. 내가 알기로 입니다. 이 올바른지?$y_t$$\log Y_t$

소비 오일러 방정식이 존재한다는 사실은 실질 이자율이 종종 경제에 긍정적이기 때문에 가 일정한 꾸준한 가치가 아니라 꾸준한 산출 경로 라는 직관을 뒷받침하는 것으로 보입니다 . 나의 혼란은 여기에서 일어나고 이것이 올바른 이해인지 확실하지 않습니다.$Y$

로그 선형화는 사용자가 연결 한 Galí 프레젠테이션의 슬라이드 11에 설명 된 바와 같이 인플레이션이없고, 일정한 생산량과 한계 비용에 대한 일정한 인상이있는 정상 상태 근처에서 수행됩니다. 따라서 는 실제로 로그 선형화가 수행되는 출력의 정상 상태 레벨 인 일정한 값으로 의도된다. 기간에 총 출력의 단지 수준 동안 당신이 말한대로, 총 출력의 로그 값이다.Y t t y t = 로그 Y $Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

여기에 관련된 것으로 보이는 몇 가지 추가 사항 :

• 기본 뉴 케인즈 모델의 이러한 파생은 정상 상태 추세 출력 증가가 없다는 가정하에 수행됩니다. 로그 선형화 방정식이이 제로 성장 정상 상태로부터의 편차가 충분히 작은 상황에 대해 대략 정확하다는 것을 확신 할 수 있습니다. 분명히, 우리가 눈에 띄게 긍정적 인 추세 성장을 가진 세계에 살고 있기 때문에 이것은 잠재적 인 문제 일 수 있습니다. 따라서 이것은 여러분에게 매우 유효한 관심사입니다.
• 그것이 일어날 때, 나는 긍정적 인 추세 생산성 성장과 함께 정상 상태를 중심으로 로그 선형화 할 때 방정식이 매우 유사하다고 생각합니다 (그러나 0 인플레이션 가정은 유지). 특히 Galí의 식 (10)에서와 같이 출력 갭과 자연 이율에 대해 언급 할 때, 시간 간 오일러 식은 정확히 동일합니다 (단, 정상 상태 자연율 는 더 높으며, 여기서 는 로그 추세 생산성 증가율입니다. New Keynesian Phillips 곡선은 조금 더 지저분합니다. 로그 기본 설정 사례 에는 몇 가지 좋은 취소가 있으며 정확히 동일한 NKPC를 얻지 만 다른g a σ = 1 σ $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$향후 인플레이션에 대한 할인율은 더 이상 가 아닙니다 . 그러나 Galí는 단순한 설명을 위해 그것을 피하고 성장하지 않는 정상 상태에 갇혀있는 이유입니다.$\beta$
• 전술 한 바와 같이, 어느 쪽 , 없으며 어떠한 "출력을 정규화 없다"이다. 그러나 Galí의 식 (7)에 정의 된 출력 간격 y_t 은 로그 출력을 효과적으로 정규화 하여 유연하게 기대할 수있는 로그 "자연 출력" 을 뺍니다. - 가격 세계는 로그 생산성 주어진 . 이런 의미에서 모델은 생산성의 변동을 수용 할 수 있습니다. 그러나 위에서 언급했듯이 이러한 변동이 너무 크면 0 추세 성장에 대한 로그 선형화가 중단되기 시작하고 경우 NKPC를 다른 형식으로 다시 작성해야합니다.Y t y t ~ y t ≡ y t − y n t y n t a t σ ≠ $Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• 마지막으로, 나는 마지막 단락에 약간 혼란 스러웠지만, "실질 이자율은 종종 경제에 긍정적이기 때문에"모델이 긍정적 인 성장률을 가질 수 있음을 암시하는 것 같습니다. 이것은 오해입니다.이 모델의 정상 상태 실질 이자율은 모델의 에이전트가 할인율 순수한 시간 선호도를 갖기 때문에 긍정적 입니다. Galí의 방정식 (10) 아래를 보면 생산성 변화가 없을 때 "자연스러운"실질 이자율은 이며 여기서 입니다.r n t = ρ ρ = − log $\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

다음 포스트는 모델을 선형화 할 때 정확히 어떤 일이 일어나고 있는지를 좀 더 쉬운 방법으로 설명합니다.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

제공된 예제를 살펴보면 단일 단계가 무엇인지 명확히해야합니다.

전체 공개 : 나는 당신이 특별히주의 깊게 제공 한 강의 노트를 읽지 못했지만 귀하의 질문에 대답 할 수 있다고 생각합니다.

편집 : 질문에 의해 제공된 링크를주의 깊게 읽지 않으면 서 뭔가를 놓쳤습니다.

표준 New Keynesian 모델 (예 : Gali가 제시 한 모델)은 성장없이 모델링됩니다. 모델을 적어두면 차이 방정식으로 나타낼 수 있습니다.

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

여기서 는 모든 관련 변수를 포함하고 는 경제에 대한 충격을 나타냅니다. "안정된 상태"는 일반적으로 가 일정하고 (차이 / 차등 식에 대한 안정적인 솔루션을 생각 함) 인 세계의 상태를 므로 다음과 같은 솔루션으로 작성할 수 있습니다.Z t X t Z t = $X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

이 경우 는 정상 상태 값이됩니다 (시간 첨자가 아님을주의하십시오. 때로는 오버 헤드 바 정상 상태를 나타내는 경우도 있습니다 ). 이것이 그가 라고 부르는 것이며 일정한 값입니다.ˉ X$X$$\bar{X}$$Y$

두 번째 질문에서는주의 깊게 읽지 않았으므로 100 % 확신 할 수는 없지만 일반적으로 변수가 로 작성 되면 실제 값을 참조합니다 (일명 모델을 해결하고 정확하게 시뮬레이션 한 경우) , 이것이 가질 가치입니다).$X_t$

세 번째 질문에 대해서는 로그 선형화에 대한 더 깊은 이해가 도움이 될 것이라고 생각합니다. 핵심적인 로그 선형화는 꾸준한 상태에서 테일러 확장 일뿐입니다. 일반 방정식 . 로그 선형화에는 3 가지 기본 단계가 있습니다 ( 여기서 내 메모리를 새로 고침 ).$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• 로그를 가져 가라
• 1 차 테일러 확장
• 대수학

먼저 통나무를 가져와

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

정상 상태에서 First order Taylor 확장을 수행하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

정상 상태 에서 여러 위치 ( 등 ...)에서 1을 곱할 것이므로$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

이제 , 및 . 이 비율의 편차 로부터 (및 그에 대한 및 ). 그런 다음 로그 선형화 방정식을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

마지막 두 가지. 첫째, 퍼센트 편차와 실제 값 사이를 처음 전환 할 때 나를 미치게 한 미묘한 점이 있습니다. 일반적으로 음수가 아닌 값은 정상 상태보다 낮은 백분율임을 의미하기 때문에 음수 일 수 있습니다. 둘째, 함수형은 일반적으로 제시된 로그 선형 방정식에서 볼 수 있듯이 일반적으로 단순화합니다.

이 예에서 Gali는 다른 답변에서 볼 수 있듯이 를 사용하므로 다른 곳에서 발생하는 일에 대한 직관을 제공하기를 바랍니다.$y_t := \log Y_t$

이것이 도움이 되었기를 바랍니다.