예측

내 예상 모델은

\hat{\ln} (y_{t}) = 9.873 - 0.472 \ln (x_{t 2}) - 0.01 x_{t 3}

$\hat \ln(y_t)=9.873-0.472\ln(x_{t2})-0.01x_{t3}$

및 일 때 평균에 대한 95 % 신뢰도에서 예측 CI를 찾아야합니다 . 우리가 생각하는 것 여기서 . $y_0$ $x_{02}=250$ $x_{03}=8$ $s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$ $x_0=(250,8)$

전년도의 해결책이 있습니다.

나는 형태의 CI 찾을 수 있습니다 , 여기서 는 분포의 상한 사 분위 및 입니다. 이것은 나에게 준다 . $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$ $t$ $\alpha/2$ $t(n-k)$ $s_E=\sqrt{0.000243952}$ $[7.1563,7.2175]$

그런 다음 저자는 합니다. $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$

나는이 마지막 단계에 동의하지 않습니다 (Jensen의 불평등으로 우리는 과소 평가할 것입니다). Wooldridge의 Econometrics의 Intro to Econometrics에서 212 페이지의 오류 항이 정상이라면 일관된 추정량은 다음과 같습니다.

\hat{E} [y_{0} | x_{0}] = e^{s^{2} / 2} e^{\hat{\ln} (y_{0})}

$\hat E[y_0|x_0]=e^{s^2/2}e^{\hat \ln(y_0)}$

그래서, 나는 생각하고 있었다

CI (E [y_{0} | x_{0}]) = [e^{s^{2} / 2} 1282.158, e^{s^{2} / 2} 1363.077] = [1282.314, 1363.243]

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=\left[e^{s^2/2} 1282.158,e^{s^2/2}1363.077 \right] = \left[ 1282.314,1363.243 \right]$

이 올바른지?

또한이 연습의 해결책은 이며, 내가 가지고있는 솔루션과는 거리가 멀습니다. $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

도움을 주시면 감사하겠습니다.

추신 : 나는 또한 보정이 CI에 사용되어서는 안되고 점 추정에만 사용되어야한다는 것을 읽었습니다. $\hat E[y_0|x_0]$

econometrics prediction

— 바다에있는 노인.
소스

답변:

인쇄상의 오류로 의심되는 것 때문에 동일한 대답을 찾지 못하므로 문제의 주요 원인 이 될 것입니다 . 은 아닌 으로 설정됩니다 . 을 유지하는 또 다른 가능성 은 두 번째 추정 계수의 오류 입니다 (예 : 대신 . $x_{03}$ $80$ $8$ $x_{03}=8$ $\hat{\beta}_2 = -0.1$ $-0.01$

어쨌든 이러한 수정 중 하나가 모든 것을 해결하고이 연습의 솔루션과 동일한 결과를 산출합니다.

이 변경을 고려하면 이면 $t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

방법 1

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$ (이 연습에 제공된 솔루션)

또는

방법 2

오류 조건이 정상인지 (그리고 운이 매우 좋은 경우) 212 페이지의 Wooldridge의 계량 경제 소개,

CI (E [y_{0} | x_{0}]) = [e^{s^{2} / 2} 624.0203, e^{s^{2} / 2} 663.5193] = [624.0960, 663.6002]

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=\left[e^{s^2/2}624.0203,e^{s^2/2}663.5193 \right] = \left[ 624.0960,663.6002 \right]$

하나

방법 (2)는 당신이 당신의 질문에 언급로하기 때문에, 정확 매우 가능성이 [...]을 (과소 평가) 보정이 CI에 만 점의 추정에 사용되어서는 안된다.

왜 ? 나는 에 대한 기대 와 다른 한편으로는 에 대한 기대를 아는 것은 두 용어 사이에 의존성 때문에 . $e^{s^2/2}$ $\hat{y_0}$ $e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

— 살아 유지
소스

포인트 예측과 CI가 다릅니다.

점 예측의 경우 가능한 한 편향을 수정하면 더 좋습니다. CI의 경우 처음부터 필요한 확률은 와 같습니다 . 경우 위한 95 % CI이다 예를 들어, 위한 95 % CI 확실히 때문에 . 따라서 는 확실히 유효한 CI입니다. $100(1-\alpha)\%$ $[a,b]$ $\ln(y_0)$ $[e^a,e^b]$ $y_0$ $P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$ $[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

그러나이 CI의 중심은 젠슨의 불평등으로 인한 순진한 예측 변수 (exp [predictor of ]) 나 수정 된 인 (순수 과 순진한 예측 변수)이 아니지만 실제로 중요하지는 않습니다. 경우에 따라 (항상 그런 것은 아님) 일부 및 대해 CI를 로 변경 하여 확률이 여전히 95 %이고 중심이 치우침 일 수 있습니다. 수정 된 예측 변수이지만 요점을 알 수 없습니다. $\ln y_0$ $y_0$ $[e^{a-p}, e^{b-q}]$ $p$ $q$

제안한 것, 즉 는 95 % CI가 아닙니다. 이유를 확인하기 위해 수정 인수를 (간단하지 않고 완벽하게 알려짐)로 지정하면 편향 보정 된 예측 변수는 . 여기서 는 ( 예에서 ). 이 " "는 예를 들어 에 의해 추정 될 수 있지만, 후자는 임의이지만 는 간단하게하기 위해 비 임의로 가정됩니다. 하자 위한 95 % CI 수 , 즉, $[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$ $h$ $he^{\theta}$ $\theta$ $\ln y_0$ $\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$ $h$ $e^{s^2/2}$ $h$ $[a,b]$ $\ln y_0$ $P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$ . 그리고, 되어 있지 동일한 의 분포 가 균일 하지 않으면 입니다.

P (h e^{a} \leq y_{0} \leq h e^{b}) = P (\ln h + a \leq \ln y_{0} \leq \ln h + b),

$P(he^a \le y_0 \le he^b) = P(\ln h+a \le \ln y_0 \le \ln h+b),$

P (a \leq \ln y_{0} \leq b) = 0.95

$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$

\ln y_{0}

$\ln y_0$

편집하다

위 의 아닌 의 CI에 관한 것 입니다. 원래 질문은 의 CI에 관한 것 입니다. 하자 에 의해 추정된다, . 이 경우 델타 방법이 유용한 옵션이라고 생각합니다 (루 코나 초의 답변 참조). $y_0$ $E(y|X=x_0)$ $E(y|X=x_0)$ $E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$ $\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$

엄격하게하기 위해서는 와 의 합동 분포 또는 벡터 의 점근 적 분포의 정확한 분포가 필요합니다 . 그런 다음 의 한계 분포 는 델타 방법을 사용하여 도출 한 다음 대한 CI를 만들 수 있습니다. $\hat{h}$ $\hat\beta$ $\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$ $\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$ $h\exp(x_0\beta)$

— chan1142
소스

Chan에게 대답 해 주셔서 감사합니다. 그건 그렇고,이 연습에서, 포인트 추정기는

y_{0}

$y_0$ 또는

E (y | X_{0})

$E(y|X_0)$ 는 같다. 결과 추정치는 CI 외부에 있습니다.

E (y | X_{0})

$E(y|X_0)$ 그러나 CI 내부

y_{0}

$y_0$ . 둘 다 CI 내부에 있어야합니까?

— 바다에있는 노인.

예, 도움이됩니다. 이 질문을 확인해 주시겠습니까? 이것과 관련이 있습니다. Economics.stackexchange.com/questions/16891/…

— 바다의 노인.

내가 만들고 삭제 한 의견에서 실수를했습니다.

E (y | X = x_{0})

$E(y|X=x_0)$ 물론 다르다

\exp {E (\log y | X = x_{0})}

$\exp\{E(\log y|X=x_0)\}$ 귀하의 질문 상태에 대한 Alecos Papadopoulos의 답변으로. @Anoldmaninthesea에게 감사드립니다. 아마도

\exp (x_{0} \hat{β})

$\exp(x_0{\hat\beta})$ 충분히 가깝다

\exp (x_{0} β)

$\exp(x_0 \beta)$ 이는 귀하가 제기 한 것이 아닙니다. 흠, 그 경우에 당신의 말은 훨씬 더 흥미 롭습니다.

— chan1142

나는이 문제에 대해 생각한 적이 없다. 지금 할게요 CI에 관한 것입니다.

E (y | X = x_{0})

$E(y|X=x_0)$ . luchonacho가 설명하는 델타 방법은이 경우에 유용합니다. @Anoldmaninthesea에게 감사합니다.

— chan1142

Chan, 나는 나의 또 다른 질문을 이것에 연결했다. 거기에는 내가 쓴 답이 흥미로울 것입니다.

— 바다에있는 노인.

델타 방법을 사용하십시오 . 단일 모수 의 큰 표본 점근 분포 $\beta$ 입니다 :

\hat{β} \overset{a}{\to} N (β, \frac{V a r (\hat{β})}{n})

$\hat{\beta} \xrightarrow{a} N\left(\beta,\frac{Var(\hat{\beta})}{n}\right)$

(추정이 일정하다고 가정)

또한, 당신은의 기능에 관심이 있습니다 $\hat{\beta}$ 말하자면 $F(\hat{\beta})$ . 그런 다음 위 의 1 차 Taylor 테일러 근사값 은 다음과 같은 점근 분포로 이어집니다.

F (\hat{β}) \overset{a}{\to} N (F (β), {(\frac{\partial F (\hat{β})}{\partial \hat{β}})}^{2} \frac{V a r (\hat{β})}{n})

$F(\hat{\beta}) \xrightarrow{a} N\left(F(\beta),\left(\frac{\partial F(\hat{\beta})}{\partial \hat{\beta}}\right)^2\frac{Var(\hat{\beta})}{n}\right)$

귀하의 경우 $F(\hat{\beta})$ 이다 $e^\hat{\beta}$ . 여기에서 CI를 정상적으로 구성 할 수 있습니다.

링크 된 문서의 소스 및 자세한 내용

— 루코 나쵸
소스

루초, 나는 이것을 위해 델타 방법을 사용할 수 없지만 어쨌든 감사합니다. ;)

— 바다의 노인.

: o 왜 안돼? 내가 잘못 읽거나 언급하지 않은 가정은 무엇입니까?

— luchonacho

운동의 요점이 아닙니다. 어떤 방법이 올바른지 알고 싶습니다. 또한 귀하의 방법은 근사 분포를 제공하는 반면 운동에서는 정확한 CI를 원합니다.

— 바다에있는 노인.