정치적 게임에서 비협조적인 내쉬 균형

이 문제에 대해 비협조적인 내쉬 균형을 도출하는 데 어려움이 있습니다.

목적 함수는 두 기간 동안 예상되는 총 임대료를 최대화하는 것입니다.

\begin{aligned} max_{S_{i}} (1 - e_{i} S_{i} + P_{i} (S_{i}, S_{j}) δ (1 - \underline{S})) \end{aligned}

$\begin{align} \max_{S_i} (1-e_i S_i + P_i(S_i, S_j) \delta(1-\underline{S})) \end{align}$

함께 및 및 및 $P_i(S_i, S_j)=\frac {S_i}{S_i+S_j}$ $i,j \in \{A,B\}$ $e_A=1-d$ $e_B=1+d$

$S_i$ 는 서비스 품질을 나타내고, 는 에서 지출 요구를 포착 한 매개 변수 , 는 재 선출 확률이고, 는 할인 요소이고 는 최소 서비스 품질입니다. . $e_i$ $i$ $P_i(S_i, S_j)$ $\delta$ $\underline{S}$

게임의 내쉬 균형의 해는

\begin{aligned} ({에스}_{에이}^{※}, {에스}_{비}^{※}) = (\frac{δ (1 + 디) (1 - \underline{에스})}{4}, \frac{δ (1 - 디) (1 - \underline{에스})}{4}) \end{aligned}

$\begin{align} (S_A^*, S_B^*)=\Big(\frac{\delta (1+d)(1-\underline{S})}{4}, \frac{\delta (1-d)(1-\underline{S})}{4}\Big) \end{align}$

시도했지만 동일한 해결책을 얻지 못했습니다.

이것이 내가 한 일입니다. 최대화 문제

\begin{aligned} \frac{\partial 유_{나는}}{\partial {에스}_{나는}} = - {이자형}_{나는} + \frac{δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{제이}}{({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2}} \overset{!}{=} 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial{U_i}}{\partial{S_i}} = -e_i+\dfrac{\delta(1-\underline{S})S_j}{(S_i+S_j)^2}\stackrel{!}{=}0 \end{align}$

및 최선의 응답 함수를 얻을 및 는 다음과 같이 각각 $i$ $j$

\begin{aligned} δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{제이} = {이자형}_{나는} ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \\ δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{나는} = {이자형}_{제이} ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \delta(1-\underline{S})S_j=e_i(S_i+S_j)^2 \\ \delta(1-\underline{S})S_i=e_j(S_i+S_j)^2 \end{align}$

반응 함수에 대칭 를 적용하고 다음을 얻습니다. $S_i=S_j=S^*$

\begin{aligned} δ (1 - \underline{에스}) {에스}^{※} & = {이자형}_{나는} (2 {에스}^{※})^{2} \\ {에스}^{※} & = \frac{δ (1 - \underline{에스})}{4 {이자형}_{나는}} \end{aligned}

$\begin{align} \delta(1-\underline{S})S^*&=e_i(2S^*)^2 \\ S^*&=\dfrac{\delta(1-\underline{S})}{4e_i} \end{align}$

그래도 확실하지 않습니다.

game-theory nash-equilibrium

— 알파
소스

방정식 얻을 는 이렇게하면 됩니다. 초기 방정식에서 또한 을 제공

\begin{aligned} δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{제이} = {이자형}_{나는} ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \\ δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{나는} = {이자형}_{제이} ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \delta(1-\underline{S})S_j=e_i(S_i+S_j)^2 \\ \delta(1-\underline{S})S_i=e_j(S_i+S_j)^2 \end{align}$

\begin{aligned} δ (1 - \underline{에스}) ({에스}_{나는} + {에스}_{제이}) = ({이자형}_{나는} + {이자형}_{제이}) ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \delta(1-\underline{S})(S_i+S_j)=(e_i+e_j)(S_i+S_j)^2 \end{align}$

\begin{aligned} δ (1 - \underline{에스}) = ({이자형}_{나는} + {이자형}_{제이}) ({에스}_{나는} + {에스}_{제이}) . \end{aligned}

$\begin{align} \delta(1-\underline{S})=(e_i+e_j)(S_i+S_j). \end{align}$

(S_{i} + S_{j})

$(S_i+S_j)$

\begin{aligned} δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{제이} = {이자형}_{나는} ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \\ δ (1 - \underline{에스}) {에스}_{나는} = {이자형}_{제이} ({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \delta(1-\underline{S})S_j=e_i(S_i+S_j)^2 \\ \delta(1-\underline{S})S_i=e_j(S_i+S_j)^2 \end{align}$

\frac{{에스}_{제이}}{{이자형}_{나는}} = \frac{({에스}_{나는} + {에스}_{제이})^{2}}{δ (1 - \underline{에스})} = \frac{{에스}_{나는}}{{이자형}_{제이}},

$\frac{S_j}{e_i} = \frac{(S_i+S_j)^2}{\delta(1-\underline{S})} = \frac{S_i}{e_j},$

\frac{{에스}_{제이}}{{에스}_{나는}} = \frac{{이자형}_{나는}}{{이자형}_{제이}} .

$\frac{S_j}{S_i} = \frac{e_i}{e_j}.$ 이제 변수 의 합과 비율이 모두 있습니다. 개별 값을 계산하는 것은 간단합니다.

S_{j}, S_{i}

$S_j,S_i$

— 기스 카드
소스

고마워요 !! 시간을 내서 답변 해 주셔서 감사합니다.

— Alfa

@ 알파 당신은 대답을 받아들이기를 고려 했습니까?

— luchonacho

@ luchonacho 예, 나는 대답을 받아들입니다. 그것은 나에게 해결책을 준다.

— Alfa

@Alfa Stackexchange에서 답변을 수락하려면 답변 왼쪽의 녹색 확인 표시를 눌러야합니다.

— Giskard

@Alfa ahaha 우스운. 예, 정식으로 수락해야합니다. :)

— luchonacho