Burdett Mortensen (1998)의 가치 기능 차별화

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저는 현재 Burdett과 Mortensen의 구직에 관한 고전적인 논문을보고 있습니다. 예약 임금에 대한 표현을 찾는 쉬운 작업은 max 연산자의 존재에 의해 약간 더 복잡해집니다. 우리는 임금을 지불하는 직업의 가치에 대한 다음 Bellman 방정식에 직면합니다 $w$ . 벨만 방정식이 표준입니다. 일자리 지불의 가치 $w$ 임금으로 구성 $w$ 구인 제안이 올 확률로 할인 된 더 나은 구직 검색 및 발견으로 인한 기대 이익 $\lambda_1$ 작업이 요율로 파괴 될 때 실직으로 인한 손실 $\delta$ . 실업의 가치 $V_0$ 실업 수당으로 구성 $b$ 또한 제안이 나올 확률에 의해 할인 된 고용으로 인한 기대 이익 $\lambda_0$ . 제안이 이루어질 확률은 누군가가 이미 고용되어 있는지 아니면 실직했는지에 따라 다릅니다. 오퍼 배포는 $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$ 때문에 증가하고 및 우리는 예약 임금 경우되도록 존재 알고 그것을 독립적 인 , 하고 . 표준 인수 (부분으로 통합)는 여기에서 첫 번째 방정식의 미분을 취하고 풀고 싶습니다 . 그러나 Leibniz 통합 규칙을 사용하면

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ 나는 integrand가 차별화 가능해야합니다. 두 개의 연속 함수의 최대 값은 일반적으로 동일한 위치에서 구별 할 수 없으므로 문제가 있습니다. 나는 온통 통합한다고 가정하면 다음 (스위치 작업에 근로자를 유도 할 것이다 임금 이벤트) 그 결과는 라이프니츠에 의해 다음과 규칙. 그러나 분배에 허용되지 않는 임금이 있으며이 파생 상품은 보유하지 않습니다. 유도체는 I는 I 상상 뭔가 빠졌지 만 확실하지 않습니다. 누군가 나에게 조언을 줄 수 있다면 정말 감사하겠습니다.

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$

labor-economics search-and-matching

— 표
소스

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연산자 의 적분을 취하면 적분이 서로 다른 지원을 가진 두 개의 별도 적분으로 분리되어야한다고 생각합니다. $\max_{\{\cdot\}}$

가치 함수가 복잡하고 차별화가 없더라도 최적화 문제를 해결하기 위해 솔루션이 존재할 때만 연속성이 필요합니다.

— 키츠 네 기병대
소스

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다음은 단순화를 위해 , 지원에 대한 절대 상한을 가정하는 내 시도 입니다. $F$ $F(\overline{w})=1$

첫 번째 방정식을 있다

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

배열이 제공하도록 용어 및 취소됩니다. Leibniz의 rule know를 적용하면 마지막 마지막 평등은 과 같습니다 . 풀면 원하는 솔루션이됩니다. $I$ $II$

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

— 다니엘 _EDI
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