Smith (2006)의 솔루션 방법 Ramsey 모델에 대한 폐쇄 형 솔루션

스미스가 그의 방정식 (12)에 대한 일반적인 해답이 (13) (6 페이지 참조)임을 보여주는 방법을 이해하려고 노력하고 있습니다.

(12) \ begin {eqnarray} \ dot {z} & amp; = & amp; (1 \ alpha) \ left {1- \ left (\ delta + \ frac {\ bar {x}} {1+ \ bar {x} Ae ^ {\ bar {x} 권리] \ end {eqnarray}

부록에서 식 (12)에 대한 일반적인 해법은 다음과 같다.

(13) \ begin {eqnarray} z & amp; = & amp; (1-α, 1, d; \ omega) + B \ bar {x} ^ {\ alpha-1} e ^ {- (1- \ alpha} (\ bar {x} + \ delta) t} (1+ \ bar {x} Ae ^ {\ bar {x} t}) ^ {1- \ end {eqnarray}

부록 :   A.1   \ begin {eqnarray} \ dot {z} & amp; = & amp; - (1- \ alpha) \ left (\ delta + \ frac {\ bar {x}} {1+ \ bar {x} Ae ^ {\ bar {x} t}} \ right) z \ end {eqnarray}   이것은 보완적인 솔루션을 찾기 위해 통합 될 수 있습니다 : (A.2)   \ begin {eqnarray} z_c & amp; = & amp; \ bar {x} ^ {\ alpha {1}} {\ bar {x} t}) ^ {1-α} \ end {eqnarray}

방정식 (12)에 대한 특정 해를 찾기 위해, 나는 매개 변수의 변화 방법을 사용할 것이다. 특정 솔루션은 $ z_p $ $ = $ $ z_c $$ \ Psi $이고, $ \ Psi $는 시간의 알려지지 않은 함수라고 추측하십시오. 이 추측을 식 (12)에 대입하면 다음과 같습니다.   (A.3)   \ begin {eqnarray} \ dot {\ Psi} & amp; = & amp; \ frac {1- \ alpha} {z_c} & amp; = & amp; (1 - \ alpha) \ bar {x} ^ {1- \ alpha} e ^ {(1- \ alpha) (\ bar {x} + \ delta) t} \ bar {x} t}) ^ {\ alpha-1} \ end {eqnarray}

첫째, (A.2) 다음에 (A.1)의 통합 된 버전입니까? 아니면 다른 단계가 있습니까?

둘째로, 나는 그가 12로 추측을 대체 한 방법을 보지 못했고 어떻게이 대체에서 (A.3)을 얻을 수 있는가? 특히 나는 여기에서 정말로 잃어 버렸고 상상력이 부족하여 $ \ dot {\ Psi} $로 어떻게 생겼는지 상상할 수 없다. 그는 (12)에서 $ \ dot {z} $ 나 $ z $로 $ z_p $를 대체 했습니까?

인용문 : [Smith, William. (2006). 램지 모델에 대한 폐쇄 형 솔루션. 거시 경제학에 대한 기여. 6.]

미분 방정식 (12)을 풀어 봅시다.

첫 번째 단계로, 우리는 "더 간단한"미분 방정식, 즉 (A.1)을 찾는다. (A.1)을 쓸 수있다. \ delta + \ frac {\ bar {x} e ^ {- \ bar {x} t}} {e ^ {- \ bar {x} t} + \ bar {x} A} \ right) $$ 왼쪽에는 $ \ ln (z) $의 파생어가 있습니다. 어떤 솔루션 $ z_c $의 형태를 얻기 위해 통합 할 수 있습니다 : (오른쪽)) + 상수 $ (오른쪽) - $ (왼쪽) - 왼쪽 ($ \ \ bar {x} $ $ z_c = \ kappa e ^ {- (1- \ alpha) \ delta t} \ left (e ^ {- \ bar {x} t} + \ bar {x} A \ right) ^ {1- 알파} $, 여기서 $ \ kappa $는 이전 방정식에서 상수의 지수입니다. 이 방정식은 $ \ kappa = \ bar {x} ^ {\ alpha-1} $와 같은 특정 상수에 대해 (A.2)와 같습니다. 이 상수의 선택은 $ z $에 대한 몇 가지 경계 조건에서 비롯됩니다 (이는 종이에 명시되어야 함).

두 번째 단계로 매개 변수의 변형 방법을 사용합니다. 즉, $ z_p = z_c. \ Psi $ 인 (12), $ z_p $의 해를 찾으려고합니다. $ \ Psi $에 대한 식을 찾으면 (12)의 해를 발견했다. (12)에서 $ z_p $를 대체합니다. \ psi} = (1- \ alpha) \ left [1- \ left (\ delta + \ frac {\ bar {x}} {1+ \ bar} {x} Ae ^ {\ bar {x} t}} \ right) z_c. \ Psi \ right] $$ 이 표현식은 $ z_c $가 (A.1)을 만족시키기 때문에 단순화됩니다. $$ z_c. \ dot {\ Psi} = (1- \ alpha) $$ 이것은 (A.3)입니다. 그렇다면이 방정식의 해답을 찾아야 만합니다. 끝났습니다.