최적의 세금 찾기

이 연습의 마지막 두 가지 질문에 대해 문제가 있습니다. 세금이 없었기 때문에 최적의 세금을 찾기 위해 최적의 세금을 찾기 위해 모델을 설정하는 방법을 이해할 수 없기 때문입니다.

당신의 아이디어를 나와 공유하십시오. 감사.

입증 엄격히 오목 .$\Pi_j(x_j)$$x_j$

$\Pi_j(x_j) = G(x_j) + F\left(\frac{x_j}{y}\right) =G(x_j) + F\left(R_j(x_j)\right)$

우리가 얻는 차별화

$\Pi_j'(x_j) =G'(x_j) + F'\left(R_j(x_j)\right)R_j'(x_j)$

Differentating , 우리는 도착$\Pi_j'(x_j)$

$\Pi_j''(x_j) =G''(x_j) + F''\left(R_j(x_j)\right)(R_j'(x_j))^2 + F'\left(R_j(x_j)\right)R_j''(x_j) < 0$

따라서 는 오목합니다.$\Pi_j$

대칭 내쉬 평형에서 학업에 소요되는 시간을 결정하십시오. 이라고 부릅니다 .$x^{**}$

모든 사람이 선택하는 대칭 내쉬 평형 :$x^{**}$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) = 0$

판단되면 보다 크거나, 작거나 같다 ?$x^{**}$$x^*$

참고 만족$x^*$

$G'(x^{*}) = 0$

및 만족$x^{**}$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) = 0$

이 둘을 결합하면

$F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) = G'(x^{*}) - G'(x^{**})$

이후 및 보유 우리 수득$F'\left(1\right) > 0$$R_j'(x^{**}) > 0$

$G'(x^{*}) - G'(x^{**}) > 0$

는 오목 하므로 됩니다.$G$$x^* < x^{**}$

와 의 학생들의 복지를 비교하십시오 .$x^*$$x^{**}$

$\Pi_j(x^{**})=G(x^{**}) + F(1) = G(x^{**}) < G(x^{*})$

따라서, 학생들의 오프 더 나쁜 에 비해 .$x^{**}$$x^{*}$

를 보장하는 학업에 대한 세금 을 찾으십시오 .$\theta^* > 0$$x^{**}= x^{*}$

대칭 내쉬 평형 위치를 모두 선택 세금의 존재 만족$x^{**}$$\theta$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) - \theta = 0$

의 부호를 확인하기 위해 위의 조건을 와 관련하여 구분합니다 .$\partial x^{**}/\partial \theta$$\theta$

$\displaystyle G''(x^{**})\frac{\partial x^{**}}{\partial \theta} + F'\left(1\right)R_j''(x^{**})\frac{\partial x^{**}}{\partial \theta} - 1 = 0$

이 결과

$\displaystyle \frac{\partial x^{**}}{\partial \theta} = \frac{1}{G''(x^{**})+F'\left(1\right)R_j''(x^{**})} < 0$

마지막으로, 를 보장하는 를 찾고 싶습니다 . 그렇게하기 위해 우리는$\theta^*$$x^{**} = x^*$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) - \theta = 0$

위의 를 대체 하여$x^{**} = x^*$

$\theta^* = F'\left(1\right)R_j'(x^{*})$