Burdett and Mortensen (1998), 식 (22), 부분 별 적분 문제

가정 과 의 지원에 모두 누적 확률값 DIST의 함수이다 우리는 다음을 알 : $F(x)$ $H(x)$ $[b_0,b_1]$

u (x | F) = \int_{b_{0}}^{x} \frac{m}{1 + k [1 - F (b)]} d H (b)

$u(x|F)=\int_{b_0}^{x}\frac{m}{1+k[1-F(b)]} dH(b)$

그리고 이것으로부터

[1 + k (1 - F (x))] d u (x | F) = m d H (x)

$[1+k(1-F(x))]du(x|F)=mdH(x)$

우리는 또한

G (w) (m - u (b_{1} | F)) = \frac{k \int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)}{1 + k (1 - F (w))}

$G(w)(m-u(b_1|F))=\frac{k\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}$

그런 다음 논문에서 저자는 논문의 방정식 [22]를 따릅니다.

\frac{(m - u (b_{1} | F)) d G (w)}{d F (w)} = \frac{k m H (w)}{[1 + k [1 - F (w)]]^{2}}

$\frac{(m-u(b_1|F))dG(w)}{dF(w)}=\frac{kmH(w)}{[1+k[1-F(w)]]^2}$

나는 저자가 이것을 어떻게 얻었는지 이해하지 못한다. 누군가 나를 도울 수 있습니까?

labor-economics search-and-matching

— 곽원원
소스

저자는 적분이 적분뿐만 아니라 적분 변수의 함수를 인수한다는 점을 고려하여 적분의 총 미분 계산과 관련하여 첫 번째 단계에서 사용한 것과 동일한 규칙을 두 번째 단계에 적용합니다. 변수 자체.

첫 번째 단계는

d [u (x | F)] = d [\int_{b_{0}}^{x} \frac{m}{1 + k [1 - F (b)]} d H (b)]

$d[u(x|F)]=d\left[\int_{b_0}^{x}\frac{m}{1+k[1-F(b)]} dH(b)\right]$

\begin{matrix} (1) & = \frac{m}{1 + k [1 - F (x)]} d H (x) \end{matrix}

$=\frac{m}{1+k[1-F(x)]}dH(x) \tag{1}$

다시 정렬하면 첫 번째 결과를 얻습니다. 동일한 논리를 적용하면

(m - u (b_{1} | F)) \cdot d [G (w)] = k d [\frac{\int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)}{1 + k (1 - F (w))}]

$(m-u(b_1|F))\cdot d\big[G(w)\big]=kd\left[\frac{\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}\right]$

우리는 대한 차이를 고려하고 있는데 , 이것이 함수 의 인수이기 때문 입니다. 이를 명확하게 나타 내기 위해 를 작성 . 그림을 명확히하려면 $w$ $G$ $d_w$

k d_{w} [\frac{\int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)}{1 + k (1 - F (w))}] \equiv k d_{w} (\frac{A (w)}{B (w)}) = k \frac{B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w)}{[B (w)]^{2}}

$kd_w\left[\frac{\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}\right] \equiv k d_w\left(\frac{A(w)}{B(w)}\right) = k\frac{B(w)d_wA(w) - A(w)d_wB(w)}{[B(w)]^2}$

우리는 분모가 저자의 최종 표현과 정확히 일치하므로 걱정할 필요가 없습니다. 우리는 분자를 켭니다. 하나씩,

d_{w} A (w) = d_{w} [\int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)]

$d_wA(w) = d_w\left[\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)\right]$

= [F (w) - F (w)] d u (w | F) + [\int_{b_{0}}^{w} d_{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)]

$= [F(w)-F(w)]du(w|F) + \left[\int_{b_0}^w d_w[F(w)-F(x)]du(x|F)\right]$

= 0 + d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} d u (x | F) + 0

$= 0 + d_wF(w) \int_{b_0}^w du(x|F) + 0$

우리는 여기서 integrand가 적분 한계의 함수일 때 적분 하의 적분 한계에 대한 Leibniz 규칙을 적용했습니다. 제 제로 결과가된다는 사실에서 비롯 ( 포함하지 않는다 우리가 변경할 수 있도록, 변화 제로 임). 그래서 $d_wF(x) = 0$ $F(x)$ $w$ $w$ $F(x)$

B (w) d_{w} A (w) = [1 + k (1 - F (w)] d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) = [1+k(1-F(w)]d_wF(w) \int_{b_0}^w du(x|F)$

\begin{matrix} (2) & = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} [1 + k (1 - F (w))] d u (x | F) \end{matrix}

$= d_wF(w)\int_{b_0}^w [1+k(1-F(w))]du(x|F) \tag{2}$

여기서 우리는 적분 변수 에 의존하지 않기 때문에 적분 안에서 항을 옮겼습니다 . $x$

두 번째 학기로 가면

d_{w} B (w) = - k d_{w} F (w)

$d_wB(w) = -kd_wF(w)$

그래서

\begin{matrix} (3) & - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} k [F (w) - F (x)] d u (x | F) \end{matrix}

$-A(w)d_wB(w) = d_wF(w) \int_{b_0}^w k[F(w)-F(x)]du(x|F) \tag{3}$

따라서

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} [1 + k (1 - F (w)] d u (x | F) + d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} k [F (w) - F (x)] d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w) = d_wF(w)\int_{b_0}^w [1+k(1-F(w)]du(x|F) \\+ d_wF(w) \int_{b_0}^w k[F(w)-F(x)]du(x|F)$

매우 일반적인 요인 두 적분 때문에 선형성 하나로 기록 될 수있다 $d_wF(w)$

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} ([1 + k (1 - F (w)] + k [F (w) - F (x)]) d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w)=\\ = d_wF(w)\int_{b_0}^w\Big([1+k(1-F(w)] + k[F(w)-F(x)]\Big)du(x|F)$

라는 용어가 취소되고 $kF(w)$

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} [1 + k (1 - F (x))] d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w) = d_wF(w)\int_{b_0}^w[1+k(1-F(x))]du(x|F)$

그러나 재정렬 된 하고 대체하여 $(1)$

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} m d H (x)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w) = d_wF(w)\int_{b_0}^wmdH(x)$

= m d_{w} F (w) \cdot (H (x) |_{b_{0}}^{w}) = m d_{w} F (w) \cdot (H (w) - H (b_{0}))

$= md_wF(w)\cdot \Big(H(x) \big|_{b_0}^w\Big) = md_wF(w)\cdot \Big(H(w) - H(b_0)\Big)$

그러나 는 의 CDF 이므로 입니다. $H()$ $(b_0, b_1)$ $H(b_0) =0$

그리고 우리는 끝났습니다. 요컨대, 수학적 계산을 진행하는 것을 두려워하지 마십시오.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

놀랍습니다. 나는 leibnitz 규칙을 사용한 부분 (0 +를 얻는 곳에서 하나씩 차례로 세 번째 적분)을 따르지 않습니다. 나는 그것을 en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule에서 찾았 지만 여전히 알아낼 수 없었습니다. 세부 정보를 제공해 주시겠습니까? 정말 감사합니다.

— 마크 리즈

@markleeds 우리는 파생 상품이 아닌 미분에 대해 조정 된 라이프니츠 규칙을 적용하기 때문에 약간의주의가 필요합니다. 문제는 첫 번째 용어는 내 게시물에 남은 것이므로 그러나 이는 대한 차이가 있기 때문에 유지됩니다. 구체적 그래서 . 나는이 관계를 만들기 위해 내 대답에 첨자를 추가합니다 분명합니다.

\int_{b_{0}}^{w} d [F (w) - F (x)] d u (x | F) = \int_{b_{0}}^{w} d F (w) d u (x | F) - \int_{b_{0}}^{w} d F (x) d u (x | F)

$\int_{b_0}^w d[F(w)-F(x)]du(x|F)= \int_{b_0}^w dF(w)du(x|F)-\int_{b_0}^w dF(x)du(x|F)$

= d F (w) \int_{b_{0}}^{w} d u (x | F) - \int_{b_{0}}^{w} d F (x) d u (x | F)

$=dF(w)\int_{b_0}^w du(x|F)-\int_{b_0}^w dF(x)du(x|F)$

\int_{b_{0}}^{w} d F (x) d u (x | F) = 0

$\int_{b_0}^w dF(x)du(x|F) = 0$

w

$w$

d F (x) = 0

$dF(x) =0$

w

$w$

— Alecos Papadopoulos

자세한 답변에 감사드립니다. 나는 신중하게 가서 희망적으로 따라갈 것입니다.

— mark leeds

@markleeds 천만에요. 이 게시물에 관심이있는 유일한 사람인 것 같으므로 스레드가 "답변되지 않은"대기열에서 제거되도록이 답변을 상향 조정하는 것을 고려해야합니다.

— Alecos Papadopoulos

안녕하세요 Alecos : 시도해 볼 수 있지만 허용되는지 모르겠습니다. 나 해보자. 또한, 나는 당신의 최신 설명을 받았고 아름답습니다. 당신은 대학원 계량 경제학 교수 여야합니다. 더 많은 지식 경제학자들이있을 것입니다 !!!

— 마크 리즈