Nash 평형 2 명의 합동 프로젝트

나는 공동 프로젝트에 두 명의 요원이있는 곳에 문제가있다. 각 에이전트 $ i $ 노력하다 $ x_i $ $ (0 \ leq x_i \ leq 1) $ 각 비용 $ c (x_i) = x_i ^ 2 $ . 프로젝트의 결과는 다음과 같습니다. $$ f (x_1, x_2) = 3 x_1 x_2 $$

이것은 노력 레벨에 상관없이 둘 다 똑같이 나뉘어집니다. 나는 정상적인 형태의 게임으로 상황을 공식화하고 NE를 찾도록 요청 받았다.

내가 한 것은 게임을 평가하려는 노력의 일부 가치를 가정하고 각 플레이어의 보수를 개별적으로 최대화하여 최상의 응답을 얻고 NE와 교차하도록 만드는 것입니다.

1. 이 그림에서 NE는 $ (0,0) $ ; $ (0.25, 0.25) $ 과 $ (0.5, 0.5) $

2. $ \ 최대 f (x_1, x_2) -c_1 $ ~에 관하여 $ x_1 $ ; 수율 : $ x_1 = (3/4) x_2 $ 과 $ \ 최대 f (x_1, x_2) -c_2 $ ~에 관하여 $ x_2 $ ; 수율 : $ x2 = (3/4) x_1 $ 두 최대화 문제는 다음과 같은 경우에 교차합니다. $ x_1 = 0 = x_2 $

어쨌든, 나는 이것이 올바른 길이라고 생각하지 않는다 ...

당신은 실제로 거의 정확합니다. 첫 번째 접근법은 게임의 정상적인 형태를 보여 주지만, 불완전한 방식으로, "여분의"내쉬 균형을 발견하게됩니다. 플레이어의 가능한 전략에는 보여준 것뿐만 아니라 모든 긍정적 인 노력 수준이 포함됩니다.

NE (0.25; 0.25)는 어느 플레이어가 자신의 노력을 적은 금액으로 줄일 수 있기 때문에 실제로 균형이 아닙니다. 예를 들어, 플레이어 2가 노력 레벨 0.25를 사용하는 경우 플레이어 1에 대한 최적의 노력량은 게임에없는 0.1875입니다. 플레이어 1이 노력 레벨 0.1875를 선택하면 플레이어 2의 최적 노력은 3 / 4 * 0.1875 = 0.140625입니다. 이 추론을 계속하면 결국 두 번째 방법을 사용하여 올바르게 식별 한 NE (0; 0) 하나만 나타납니다.