선형 회귀 (풀링 된 OLS)를 사용하여 이익 최대화 문제

저는 현재 대학 과제를 겪고 있으며 그 중간에 어느 정도 갇혀 있습니다. 다음 문제에 답해야합니다.

농산물 생산 기능을 추정하는 데 관심이 있다고 가정하십시오 ( 정규 기사 Mundlak 1961에서와 같이 ). 당신은 농장의 많은 수의 데이터에 액세스 할 수있는 $i$ 에 대한 $T \geq 1$ 시간 기간. 추정하려는 생산 기능은 다음과 같습니다.

$$\begin{equation} y_{it} = x_{it}\beta + \alpha_i + \epsilon_{it} \end{equation}$$

여기서 $y_{it}$ 는 로그 출력이고, $x_{it}$ 는 로그 노동 (가변 입력), $\alpha_i$ 는 로그 토양 품질 (고정 입력)이며 $\epsilon_{it}$ 는 강우량 (임의 입력)입니다. 각 농부는 출력의 가격을 알고 $P_t$ , 임금 비율 $W_t$ , 그의 농장의 토질 $\alpha_i$ . 그러나 계량 경제학자는 ( $y_{it}$ , $x_{it}$ ) 만 관찰 합니다. $\epsilon_{it}$ 는 i i d 라고 가정$iid$ 모델의 다른 모든 것과 독립적입니다.

농부가 농민을 대상으로 한 일반 시장 가격 $P_t$ 생산량을 판매하고 일반 임금 $W_t$ 지불 한다고 가정하여 농부의 이익 극대화 문제를 해결하십시오 . 힌트 : 생산 기능을 로그 대신 레벨로 기록하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 표기법 편의상 $Ee{^{\epsilon_{it}}} = \lambda$ 라고 가정 합니다. 노동 수요는 $\alpha_i$ 의존 하는가? 결과의 경제적 직관을 설명하십시오.

이것은 선행 작업으로 다음과 같이 응답됩니다.

$$y_{it} = x_{it}\beta + \alpha_i + \epsilon_{it}$$ 는 생산 함수의 로그입니다. 따라서 생산은

$$Y_{it} = A_iX_{it}^\beta\cdot u_{it}$$

지수 exp ( y i t ) = exp ( x i t β + α i + ϵ i t ) 를 취함으로써 구함

$$\exp(y_{it}) = \exp(x_{it}\beta + \alpha_i + \epsilon_{it})$$

그리고 $Y_{it} = exp(y_{it})$ $X_{it}=\exp(x_{it})$ 및 $A_i = \exp(\alpha_i)$ 및 $u_{it} = \exp(\epsilon_{it})$ 합니다.

그러면 최대 이익 문제는

$$\max_{X_{it}}\Pi_{it} = P_t A_iX_{it}^\beta\cdot u_{it} - W_t X_{it}$$

IID의 특성을 감안 $\epsilon_{it}$ 농민 지식 예상 이익과 동일 $\mathbb E[u_{it}]$ 교체 $u_{it}$ :

$$\max_{X_{it}}\mathbb E [\Pi_{it}] = P_t A_iX_{it}^\beta\cdot \mathbb E [u_{it}] - W_t X_{it}$$

노동 수요에 대한 솔루션은

$$X_{it}^\star= \left(\frac{P_tA_i \mathbb E [u_{it}] }{W_t}\right)^{\frac{1}{1-\beta}}$$

더 높은 가격, 토양 품질 및 예상 강우는 모두 노동의 한계 수입을 증가시키고 따라서 주어진 임금에 대한 노동 수요를 증가시킬 것으로 예상됩니다.

내가 붙어있는 질문은 다음과 같습니다.

$\beta$

누구 든지이 작업을 수행하는 방법에 대한 힌트를 줄 수 있습니까? 어떤 도움을 주셔서 대단히 기쁩니다!