트랜스 로그 생산 기능 도출

나는 다음과 같이 정의 된 트랜스 로그 생산 함수를 도출하는 데 어려움을 겪고있다.

$$\ln y=\alpha_0+\sum_{i=1}^n\alpha_i \ln x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\ \beta_{ij}\ln x_i\ln x_j$$

로그 로그 생성 기능으로 시작한다는 것을 알고 있습니다.

$$\ln y=\alpha_0+\sum_{i=1}^n\alpha_i\ln x_i$$

내가 기억하는 것의 다음 단계는 점을 중심 으로이 함수의 테일러 시리즈를 취하는 것 입니다. 이것이 문제인 이유는 이 정의되어 있지 않기 때문 입니다.$x_i=0$$\ln(0)$

이 함수는 정확히 어떻게 도출됩니까?

트랜스 는 임의의 포인트 주위의 에서 의 2 차 Taylor 개발입니다 .

$$\log y = f(\log x)$$ $\log x$$x_0 \ne 0$

$$\log y = f(\log x_0) + \frac{\partial f}{\partial \log x^T}(\log x_0)\cdot(\log x-\log x_0) + \frac{1}{2}(\log x-\log x_0)^T\frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0)\cdot(\log x-\log x_0)$$ $$=\alpha_0+\alpha_x^T \log x+\frac{1}{2}\log x^TB\log x$$ 과 같이 정의 할 때이 마지막 매개 변수를 얻습니다. $$\alpha_0=f(\log x_0) - \frac{\partial f}{\partial \log x^T}(\log x_0)\cdot\log x_0 + \frac{1}{2}\log x_0^T\frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0)\cdot\log x_0$$ $$\alpha_x=\frac{\partial f}{\partial \log x}(\log x_0) - \frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0)\log x_0$$ $$B=\frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0).$$

아이디어는 실제로 Taylor가 생산 기능을 확장시키는 것입니다. 그것을 정당화하기 위해, 대체 인자의 일정한 탄성으로 시작할 수 있습니다.이 인자는 다음 과 같이 쓸 수 있습니다.

$$Y = A[\alpha K^\gamma + (1 - \alpha)L^\gamma]^{1/\gamma} \tag{1}$$

이 경우 , 입니다. 이제 우리는 를 주위로 확장합니다 ( 때 CES는 콥- 생산 함수에$X_1 = K$$X_2 = L$$\ln Y$$\gamma = 0$$\gamma \approx0).$

$\gamma^0$ 용어

$$\lim_{\gamma \to 0} \ln Y = \ln (A K^\alpha L^{1 - \alpha}) \tag{2}$$

$\gamma^1$ 학기

$$\begin{eqnarray} \lim_{\gamma \to 0} \frac{\partial \ln Y}{\partial \gamma} &=& \lim_{\gamma \to 0}\frac{\alpha K^{\gamma } \ln (L)+(1-\alpha ) l^{\gamma } \log (L)}{\gamma \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha ) L^{\gamma }\right)}-\frac{\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha ) L^{\gamma }\right)}{\gamma ^2}\\ &=& \frac{1}{2} (1 - \alpha) \alpha (\ln (K)-\ln (L))^2 \tag{3} \end{eqnarray}$$

그때까지 첫 주문까지

$$\begin{eqnarray} \ln Y &\approx& \color{blue}{(\ln Y)_{\gamma = 0}} + \color{red}{\left(\frac{\partial \ln Y}{\partial \gamma}\right)_{\gamma = 0} \gamma} \\ &\stackrel{(2),(3)}{=}& \color{blue}{\ln A + \alpha \ln K + (1 - \alpha) \ln L} + \color{red}{\frac{1}{2}\alpha(1 - \alpha)\gamma [\ln K - \ln L]^2} \\ &=& \ln A + \alpha \ln X_1 + (1 - \alpha) \ln X_2 + \frac{\alpha \gamma (1 -\alpha)}{2}\left[\ln^2 X_1 -2\ln X_1\ln X_2 + \ln^2 X_2 \right] \\ &=& \alpha_0 + \sum_{i = 1}^2 \alpha_i \ln X_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^2 \beta_{ij}\ln X_i \ln X_j \tag{3} \end{eqnarray}$$

이것은 자연스럽게 로 확장 됩니다.$n > 2$

$$\ln Y = \alpha_0 + \sum_{i = 1}^n \alpha_i \ln X_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n \beta_{ij}\ln X_i \ln X_j$$