라그랑지안 승수를 이해하는 데 도움이됩니까?

Lagrangian multipliers를 이해하고 온라인에서 찾은 예제 문제를 사용하려고합니다.

문제 설정 :

유틸리티 함수 소비자 고려 $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ , 여기서 $\alpha \in (0,1)$ . 이 소비자가 부 $w$ 와 가격 가지고 있다고 가정하자 $p =(p_x,p_y)$. 그것이 우리에게 주어진 전부입니다.

내가 한 일 :

그런 다음 예산 제약 조건 방정식을 정의했습니다 : $w = xp_x + yp_y$ . : I는 다음 수요자 최대화 문제 연관된 라그랑 정의 $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

내 질문:

이 방정식으로 무엇을 할 수 있습니까? Lagrangian multipliers의 Wikipedia 페이지에 공식을 설정했지만이 방정식의 목적이 무엇인지 전혀 알 수 없습니다. 주어진 방정식으로 유틸리티 기능을 최대화하는 방법을 결정할 수있는 방법을 이해하지 못하는 것처럼.

참고 : 물리에서 다변량 미적분학 및 Lagrangians ( $L = T -V$ )에 익숙 하지만이 방법은 나에게 새로운 것입니다.

제한된 최적화 기능은 하나 이상의 제약 조건에 따라 목표를 최대화하거나 최소화합니다. 내가 이해하는 것처럼, Lagrangian multiplier 접근법은 제약 된 최적화 문제 (I)를 제한되지 않은 최적화 문제 (II)로 변환합니다. 여기서 문제 II에 대한 최적의 제어 값은 문제 I에 대한 최적의 제어 값이기도합니다. 또한, 목적 함수는 문제 I과 II는 동일한 최적 값을 갖습니다. 트릭은 제약 조건을 별도로 사용하지 않고 목적 함수에 직접 적용하는 영리한 방법입니다.

소비자의 최대화 문제에 대한 귀하의 의견에 동의합니다 : .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

이제 x와 y에 대한 편미분을 취해 0으로 설정 한 다음 x *와 y *를 구합니다.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(식 1)$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

편미분 을 취하여 예산 제약 방정식을 구합니다 .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

(수식 2)$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

이제 두 개의 방정식과 두 개의 미지수 (x, y)가 있으며 x * 및 y *에 대해 풀 수 있습니다.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(결과 1)$\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

(결과 2)$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

결과 1과 2는 Cobb-Douglas 유틸리티 및 생산 기능에 대한 유명한 지속적인 지출 지분 결과를 형성합니다. 이는 x * 및 y *에 대해 명시 적으로 해결 될 수 있습니다. 및 y * = ( 1 - α ) w / p y 는 라그랑지안과 원래 문제 모두에 대해 최적의 값입니다.$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

이것은 엄격하지 않은 직관을 위한 것이며 제약에서 벗어나려는 방법을 알고 있다고 가정합니다. 여기가 쉽다; 당신이 지출 징계 우리 라그랑주 호출, 그래서 당신은 돈을 쓴다는 할 것이다 $w$ 보다는 더. 다음 단계에서 문제점을 생각하십시오.

1. 나가서 피자 ( )와 맥주 ( $x$$y$ )를 하고 부모님 께 신용 카드를 빌리라고 요청하십시오.
2. 부모님 그래서 당신은 다음과 같은 경고를 얻을 신용 카드, 당신을 알고 : 둘 이상의 지출하는 경우 , 우리는 고통의 가치를 제공, 우리의 악한 이웃 씨 라그랑주 손가락을 갈기하게됩니다 $w$$\lambda$ 달러 당을 유틸리티 단위 분수에 넘치게 쓰다.
3. 라그랑 지아를보십시오. 이제 피자 ( ), 맥주 ( y ) 및 통증 ( λ ⋅ ( x p x + y p y − w ) ) 의 함수로 효용이 됩니다. 당신의 관점에서, 당신은 주어진 λ 에 대해 이것을 최대화합니다. (특히, λ 가 매우 작 으면 예산을 크게 초과하면 Lagrange 씨의 적은 수의 예산을 초과 할 가치가 있음을 의미합니다).$x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. 보기의 부모의 관점에서, 그들은 조정하려는 당신이 자발적으로 정확하게 보내고 선택하게 수를 승 궁지에 씨 라그랑주을 떠나. ( λ를 높게 선택 하면 지출이 저조해질 수 있으며 그에 따라 해석을 조정할 수 있습니다.)$\lambda$$w$$\lambda$
5. 물론 당신은 추가 소비와 페널티의 번들을 갖는 것과 그렇지 않은 것 사이에 무관심한 수준을 정확하게 선택할 것입니다. 따라서 그림자 가격 해석 : 는 목표 함수와 동일한 단위로 지불 할 의사가있는 금액입니다 (보다 정확하게 : 1 차 근사치) ! 예산을 늘리십시오.$\lambda$

제약 조건의 부호를 변경하라는 제안은 물론 수학적으로 작동하지만 지시 목적으로 거의 사용하지 않습니다. 그대로두면 는 세금 과 같은 제약 조건 (유용하지 않음, 유틸리티 감소 )을 노출 합니다. 같은 이유). 경제적 인 관점에서, 세금에 의해 구속되는 제약에 대한 아이디어를 얻습니다. 이는 예를 들어 원치 않는 부정적 외부 성을 내재화하는 피구 비안 세금을 모델링하는 데 도움이됩니다.$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

제약 조건 하에서 함수를 최적화하기 위해 Lgrange 승수를 사용하는 것이 유용한 기술 이지만, 결국 추가적인 통찰력과 정보를 제공합니다. 평등 제약의 경우, 문제

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

물론 직접 대체에 의해 제약되지 않은 문제로 변형 될 수 있습니다.

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

그러나 일반적으로 직접 치환은 대수적 실수를하기 쉬운 성가신 표현 (특히 역동적 인 문제에서)을 생성 할 수 있습니다. Lagrange 방법은 여기서 이점이 있습니다. 또한 라그랑주 승수는 의미있는 경제 해석을합니다. 이 접근법에서 우리는 와 같은 새로운 변수를 정의 하고 "Lagrangean 함수"를 형성합니다.$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

우선, 참고 인 상응 하는 U $\Lambda(x,y,\lambda)$ 오른쪽의 추가 부분은 동일하므로 제로. 이제 우리는 두 변수에 대해 라그랑주를 최대화하고 1 차 조건을 얻습니다.$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

동일시 하게하면 기본 관계를 신속하게 제공합니다.$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

이 최적의 관계는 예산 제약과 함께 2 개의 미지수로 2 식 시스템을 제공하므로 외생 파라미터 (유틸리티 파라미터 α , 가격 ( p x ) 의 함수로 해 를 제공 , P의 Y ) 과 특정 부 $(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$ ).

값을 결정하려면 각 1 차 조건에 x 와 y를 각각 곱한 다음 측면을 합하여$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Cobb-Douglas 함수의 경우와 마찬가지로 1 차의 균질 한 유틸리티를 사용하면

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

최적의 번들에서

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

이것이 라그랑주 승수가 경제적으로 의미있는 해석을 얻는 방법입니다. 그 가치는 부의 한계 유틸리티입니다 . 이제 서수 유틸리티 의 맥락 에서 한계 유틸리티는 실제로 의미가 없습니다 ( 여기서 논의 참조 ). 그러나 위의 절차는 예를 들어 비용 최소화 문제에 적용될 수 있는데, 여기서 라그랑주 승수는 생산 된 수량의 한계 증가에 의해 총 비용의 증가를 반영하므로 한계 비용입니다.

이 답변 단락을 단락별로 진행하여 각 답변을 차례로 얻거나 혼란스러워하는 것이 좋습니다. 목적에 필요하지 않은 경우 나중에 무시할 수도 있습니다.

요점은 조건이 모든 극심한 경우라면 반드시 Lagrangian의 정지 점보다, 즉 Lagrangian의 모든 부분 미분 값이 0이라는 점입니다. 문제를 해결하려면 모든 고정 점을 식별하고 그 중 최대 점을 찾아야합니다.

$x= 0$$y = 0$

$x$$y$$x = 0$$y=0$ 인 이지만 엄격하게 양수인 실행 가능한 지점이 있으므로 왼쪽 또는 아래쪽 경계에서 최대 값을 얻을 수 없습니다. 그런 다음이 접근법은 완전히 정당화됩니다.

앞으로 Kuhn-Tucker Theorem을 적용하여 이러한 유형을 일반적으로 해결해야하는 경우이 자료를 파악한 후 해당 유형을 익히는 것이 좋습니다.

$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ $\lambda$ .

$\lambda_i$$i$ 번째 제약 . 예산 제약 조건 만있는 설정에서 쉐도우 가격은 예산 제약의 기회 비용, 즉 예산 돈의 한계 유틸리티 (소득)입니다.

$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

$\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$