자기 회귀 시계열의 관측치 합계의 무조건 분산 공식

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다음과 같은 계산을 할 수 있다는 메모가 있습니다. 나는 계산 중 일부에 대해 약간 혼란스러워합니다. 다음 결과를 얻으려면 어떤 가정이 필요합니까? 아니면 오류가 있습니까? 구체적으로, 나는 아래의 식 (1)에 의해 혼동된다. 특히, 을 허용하면 식 (1)이 때때로 음의 분산을 제공 하기 때문에 이것은 나에게 이상합니다 . (아마도 ? $\rho = -1$ $\rho = -1$

하자 . 한다고 가정 (편차와 평균 제로의 정규 분포에 의해 주어진 에러 말할 억세스 라우터 (1) 과정 ) 여기서 및 이에 $r_{t,t+n} = \sum_{i=1}^n r_{t+i}$ $r_t$ $\sigma^2$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = ρ^{j} σ^{2}

$\text{Cov}(r_t,r_{t+j}) = \rho^j \sigma^2$

Corr (r_{t}, r_{t + j}) = ρ^{j} .

$\text{Corr}(r_t, r_{t+j}) = \rho^j.$

내가 말한 메모는 이고 $\text{Var}(r_{t,t+2}) = 2(1 + \rho) \sigma^2$

\begin{matrix} (1) & Var (r_{t, t + n}) = (n + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} ρ^{i} (n - i)) σ^{2} . \end{matrix}

$\text{Var}(r_{t,t+n}) = \left( n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^i (n-i) \right) \sigma^2. \tag{1}$

(FWIW,이 질문은 누적 (로그) 반환을 처리합니다.)

econometrics time-series autoregressive

— 젬 베라
소스

r_{t, t + n} = \sum_{i = 1}^{n} r_{t + i}

$r_{t,t+n} = \sum_{i=1}^n r_{t+i}$

r_{t, t + n} = \sum_{i = 0}^{n} r_{t + i}

$r_{t,t+n} = \sum_{i=0}^n r_{t+i}$

또한 AR (1) 프로세스를 명시 적으로 작성하십시오.

— Alecos Papadopoulos

(1)

$(1)$

i = 1

$i=1$

i + 1

$i+1$

a) 작성된대로 정확합니다. 나는 그것이 조금 이상 할 수도 있지만 동의합니다. b) 질문의 목적을 위해 충분히 정의 된 프로세스. 이는이 노트에 정의 된대로 명시 적입니다. c) 네 말이 맞아. 오타입니다. 고쳤다.

— jmbejara

2

AR (1) 프로세스의 경우 (드리프트 생략) 지연의 계수는 1 차 상관 계수입니다.

r_{t + 1} = ρ r_{t} + u_{t + 1}

$r_{t+1} = \rho r_t + u_{t+1}$

그래서

r_{t, t + 2} = \sum_{i = 1}^{2} r_{t + i} = r_{t + 1} + r_{t + 2} = ρ r_{t} + u_{t + 1} + ρ r_{t + 1} + u_{t + 2}

$r_{t,t+2} = \sum_{i=1}^2 r_{t+i} = r_{t+1} + r_{t+2} = \rho r_t + u_{t+1} + \rho r_{t+1} + u_{t+2}$

= ρ r_{t} + u_{t + 1} + ρ (ρ r_{t} + u_{t + 1}) + u_{t + 2} = ρ (1 + ρ) r_{t} + (1 + ρ) u_{t + 1} + u_{t + 2}

$=\rho r_t + u_{t+1} + \rho \big(\rho r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = \rho(1+\rho)r_t+(1+\rho)u_{t+1} + u_{t+2}$

이제 세 구성 요소는 독립적입니다. 그래서

V a r (r_{t, t + 2}) = ρ^{2} (1 + ρ)^{2} \frac{σ^{2}}{1 - ρ^{2}} + (1 + ρ)^{2} σ^{2} + σ^{2}

${\rm Var}(r_{t,t+2}) = \rho^2(1+\rho)^2\frac {\sigma^2}{1-\rho^2}+ (1+\rho)^2\sigma^2 +\sigma^2$

= ((1 + ρ)^{2} \frac{ρ^{2} + 1 - ρ^{2}}{1 - ρ^{2}} + 1) \cdot σ^{2}

$=\left( (1+\rho)^2\frac {\rho^2+1-\rho^2}{1-\rho^2}+1\right)\cdot \sigma^2$

= (\frac{1 + ρ}{1 - ρ} + 1) \cdot σ^{2} = \frac{2}{1 - ρ} σ^{2}

$=\left( \frac {1+\rho}{1-\rho}+1\right)\cdot \sigma^2 = \frac {2}{1-\rho}\sigma^2$

${\rm Var}(r_{t,t+2})$ $n$

$\rho =-1$ ${\rm Var}(r_{t,t+2}) = \sigma^2$

r_{t + 1} = - r_{t} + u_{t + 1}

$r_{t+1} = - r_t + u_{t+1}$

그래서

r_{t + 1} + r_{t + 2} = - r_{t} + u_{t + 1} - r_{t + 1} + u_{t + 2} = - r_{t} + u_{t + 1} - (- r_{t} + u_{t + 1}) + u_{t + 2} = u_{t + 2}

$r_{t+1} + r_{t+2} = - r_t + u_{t+1}- r_{t+1} + u_{t+2} = - r_t + u_{t+1} - \big(- r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = u_{t+2}$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

r_{t - 1} = 0

$r_{t-1} = 0$

V a r (r_{t}) = σ^{2}

$Var(r_t) = \sigma^2$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = ρ^{j} σ^{2}

$\text{Cov}(r_t,r_{t+j}) = \rho^j \sigma^2$

r_{t - 1}

$r_{t-1}$

네가 옳아. 나는 그것이 또 다른 오류 일 수 있다는 것을 지적 할 가치가 있다고 생각합니다. 그렇지 않으면 처럼 보입니다.

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = \frac{ρ^{j}}{1 - ρ^{2}} σ^{2}

$\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma^2$

예, 이것이 AR (1)의 무조건 자기 공분산 함수입니다.

— Alecos Papadopoulos

2

r_{t + 1} = r_{t} + ϵ_{t + 1},

$r_{t+1} = r_t + \epsilon_{t+1},$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = \frac{ρ^{j}}{1 - ρ^{2}} σ_{ϵ}^{2}

$\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2$

σ_{ϵ}^{2} := V a r (ϵ)

$\sigma^2_\epsilon := Var(\epsilon)$

Var (r_{t}) = σ^{2} = \frac{1}{1 - ρ^{2}} σ_{ϵ}^{2}

$\text{Var}(r_t) = \sigma^2 = \frac{1}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2$

| ρ | < 1

$|\rho| < 1$

ρ = - 1

$\rho = -1$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = \frac{ρ^{j}}{1 - ρ^{2}} σ_{ϵ}^{2} = ρ^{j} σ^{2},

$\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2 = \rho^j \sigma^2,$

\begin{aligned} Var (r_{t, t + n}) & = Var (\sum_{i = 1}^{n} r_{t + i}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} Cov (r_{t + 1}, r_{t + j}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} ρ^{| i - j |} σ^{2} \\ = (n + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} ρ^{j} (n - i)) σ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{Var}(r_{t,t+n}) &= \text{Var}\left (\sum_{i=1}^n r_{t+i} \right) \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \text{Cov}(r_{t+1}, r_{t+j}) \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \rho^{|i - j|} \sigma^2 \\ &= \left (n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^j (n - i) \right) \sigma^2. \end{align}$

— 젬 베라
소스

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(+1)이 문제를 해결하고 게시했습니다.

— Alecos Papadopoulos