유틸리티 min (x, y) 함수를 사용하여 수요 함수 찾기

수요 함수를 찾는 것과 관련된 특정 지점에 대해 혼란스러워합니다. 내가하고있는이 연습 세트의 모든 문제는 Lagrangian multipliers의 방법을 적용하는 것과 관련이 있습니다. 그러나 이것이이 문제에 적용되는지 확실하지 않습니다.

문제 설정

유틸리티 기능이있는 소비자를 고려하십시오 $u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$. 우리는 재산을 부여한다고 가정 및 가격 .$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

내 작품

아직 할 일이 많지 않습니다. 내가 한 모든 예산 제약 조건은 .$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$

내 혼란

유틸리티 함수가 함수 라는 것을 깨달았을 때 Lagrangian multiplier equation을 설정했습니다 . 처음에는이 기능을 차별화 할 수 없다고 생각했습니다. 이제는 차별화 할 수 없지만 부분적으로 차별화 할 수 있다고 생각합니다. 아직 확실하지 않습니다.$\min$

내 추측

이 스레드를 기반으로 yes 이 부분적으로 구별 가능 하다고 생각합니다.$\min$

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

그러나 내 대답에는 조각 단위 구성 요소 또는 무언가가 필요할 것으로 생각됩니다.

내 질문

라그랑지안 승수는 여기에 적용 가능합니까? 그렇다면 라그랑지안을 어떻게해야할까요? 구별 할 수 없다면, 또는 함수가 주어지면 수요 함수는 어떻게 도출 됩니까?$\min$$\max$

아니요, Lagrange multipliers를 사용해서는 안되지만 건전한 생각입니다. 라고 가정 하고 구체성 라고 가정하십시오 . 보자 . 그런 다음 따라서 소비자는 더 나 빠지지 않고 좋은 소비 2를 줄일 수 있습니다. 반면에 모든 에 대해서는 가되므로 소비자는 두 번째 재화의 소비를 줄이고 첫 번째 재화에 여유 돈을 소비함으로써. 최적에서는 소비자가 개선 할 수 없으므로 최적 성은 가 필요합니다 . 소비자가 따라 개선한다는 것도 분명합니다$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45도 광선. 따라서 를 최적의 조건으로 사용하여 예산 제약 조건으로 대체하고 Lagrange 승수를 무시할 수 있습니다.$x=y$