혼잡 게임의 하위 모듈화 속성?

하자 $G$ 수 $n$ - 플레이어 및 $m$ -elements 혼잡 게임 .

평형 $e$ 경우

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

어디 의 지원이 포함되어 '일 플레이어 재생 (전략의 세트 긍정적 인 확률로 재생). $sup_i(e)$ $i$ $e$ $i$

또한, 우리는 말을하는 $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ IFF $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , 즉 모든 플레이어 $e$ 일부에 무작위로 자신의 행동 행동의 그는 재생 선택한 수 $e'$ .

마지막 정의 중 하나는 소셜 비용 $SC(e)$ 로, 플레이어의 비용 합계로 정의됩니다.

를 대한 두 개의 (아마도 혼합 된) 평형 이라고하자 . $e,e'$ $G$

합니까 을 의미 ?
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
소스

라고 말했습니까 ? 직관적으로, 더 적은 수의 요소를 중심으로 평형이 집중되면 각 요소가 더 혼잡해질 것이라고 생각할 것입니다.

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$

— Ubiquitous

@ 유비쿼터스-나는 정반대라고 생각합니다. 각 플레이어는 적은 수의 요소에 집중됩니다. 즉, 각 요소를 사용하는 플레이어가 적습니다. 각 플레이어가 이제 요소의 하위 집합을 선택한다는 사실 은 여전히 평형 이므로 사회가 사회에서 얻는 것을 의미 할 수 있습니다 (그렇지 않으면 플레이어가 더 많은 요소를 사용하는 것으로 되돌아 갈 수 있음).

— RB

비용 함수 (지연)에 따라 다릅니다. 지불 (비용)이 없기 때문에 문제의 게임이 불완전하게 지정되었습니다.

— 샌더 Heinsalu

이 제안은 일반적으로 사실이 아닙니다 . 및 의 경우에 해당한다는 것을 알 수 있습니다 . 여기에서는 이고 때 반대 예를 보여 줍니다. $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

간단한 의견. ( "더 무작위"입니다 내쉬 균형은 않습니다 우리는 말로 질문을 바꿔 수 있습니다 대 ) 덜 효율적이다? 직관적으로, 더 많은 혼합 전략이 진행됨에 따라 실현 된 결과는 더욱 무작위 적이며 에이전트 간의 조정 부족으로 인해 매우 비효율적입니다. 에이전트가 순수한 전략을 수행 할 때, 우리는 내쉬 균형을 고려하면 조정 문제를 줄일 수 있다고 생각할 수 있습니다. 이고 때 보여 주듯이 제안이 거짓이면이 직관은 유지되지 않습니다 . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

넣어야 와 두 개의 가능한 조치. 지연 함수는 다음과 같이 정의됩니다 : , , 및 , , 이다. 그것은 때 $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ 에이전트 재생(RESP. , 그들이 보수 수신) (RESP. ). 지연 기능이 증가하는 한 (대칭) 혼잡 게임입니다. $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

1 명의 에이전트가 재생 하고 2 개의 에이전트가 재생 경우 를 평형으로 정의하십시오 . 정의 1 에이전트는 항상 재생 될 때 평형으로 , 및 (2) 다른 재생 확률 및 확률 . 속성 충족합니다 . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

먼저, 우리는 가 내쉬 균형 임을 보여줍니다 . 선택한 에이전트는 선택할 때 다른 두 선수의 전략 이 , (즉, )를 선택 것보다 낫다는 점에서 그녀의 보수를 극대화하고 있습니다. (즉 ) 인 경우 를 재생하는 두 요원 모두 최적으로 재생됩니다 . $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ 따라서 내쉬 균형이며 사회적 비용은 . $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

둘째, 우리는 가 내쉬 평형 임을 보여줍니다 . 한편, 재생 에이전트 그녀가 재생 더 나을 경우 다른 두 혼합 전략을 재생할 때 그녀가 급료 지불 극대화 보다 , $e'$ $B$ $B$ $A$ 즉

(1 - μ)^{2} d_{B} (3) + 2 μ (1 - μ) d_{B} (2) + μ^{2} d_{B} (1) < (1 - μ)^{2} d_{A} (1) + 2 μ (1 - μ) d_{A} (2) + μ^{2} d_{A} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

입니다. 한편, 혼합 전략을 재생 제의 각 선택과 무관하다

또는

만약

즉

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{A} (2) + (1 - μ) d_{A} (1) = μ d_{B} (2) + (1 - μ) d_{B} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

는 다음 내쉬 평형이고 사회적 비용은

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

과 같습니다

(1 - μ)^{2} [3 d_{B} (3)] + 2 μ (1 - μ) [d_{A} (1) + 2 d_{B} (2)] + μ^{2} [2 d_{A} (2) + d_{B} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

마지막으로, 도시했는지 하지만 . 혼합 전략 내쉬 균형은 순수한 전략보다 사회적 비용이 더 낮습니다. $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
소스