절약형 모델, 식별 문제 및 테스트의 축소 된 형태

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다음 문제를 이해하고 계량 경제학에서 축소 된 양식을 사용하는 방법을 이해하는 데 도움이되는 몇 가지 도움이 필요합니다

개인의 건강에 대한 모델을 고려하십시오 :

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

운동을 제외한 방정식의 모든 변수는 u와 상관이 없다고 가정합니다.

A) 운동을 위해 축소 된 양식을 작성하고 방정식의 매개 변수가 식별되는 조건을 명시하십시오.

나) 파트 c의 식별 가정은 어떻게 테스트 될 수 있는가?

가정하는 것이 맞습니까?

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ 축소 된 형태로?

매개 변수를 식별하기위한 조건입니다.

$E(exercise|u)=0$

어떻게 테스트 할 수 있습니까? 그러나 더 좋은 점은 무엇입니까?

econometrics

— 클레멘테 코타 일
소스

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이것은 단일 방정식 선형 모델의 도구 변수에 대한 매우 표준적인 질문입니다. 귀하의 질문의 기본 사항을 고려할 때 유일한 내생 변수는 운동 입니다. 이 특정 질문에 대답하려면 두 가지 조건을 만족 하는 외생 변수 z 가 필요합니다 .

cov (z, u) = 0.
제안하는 내생 변수와 내생 변수 사이에 관계가 있어야하지만 실제 가정 모델 (구조 모델)의 일부가 아니어야합니다. 즉, 와 , 이고 모든 설명 변수 (운동 제외) 와 z에 직교합니다 . $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ $\phi\ne 0$ $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

다음 단계로 넘어가십시오. 에 의해 구조 모델 나는 Wooldridge 및 골드 버거 규칙, 가정 된 모델을 다음과 같은 의미. 즉, 건강 과 공변량 간의 인과 관계를 나타내는 모델입니다 . 이것은 이전의 답변과의 주요 차이점과 의견 차이입니다.

이제 당면한 문제로 돌아가서, 조건 2는 동시 방정식 문헌에서 z를 포함한 모든 외생 변수에 대한 내생 변수의 선형 투영에 불과한 축소 형식 방정식 이라고 합니다 .

이제 축소 된 형식을 가정 된 모델에 연결하면

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ 여기서 , 및 입니다. 선형 투영의 정의에 의해, 는 모든 설명 변수와 관련이 마지막 방정식의 OLS 는 실제 모델 의 기본 가 아니라 및 대한 일관된 추정치를 생성 합니다.

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$

ν

$\nu$

α_{i}

$\alpha_i$

δ

$\delta$

b_{i}

$b_i$

식별에는 매트릭스 형태의 약간의 조작이 필요하지만 본질적으로 소위 순위 조건으로 줄어 듭니다 . 정의 와 그래서 당신의 구조 모델임을 . 이제 . 조건 1 (cov (z, u) = 0이므로 E (z, u) = 0이되도록), 구조 모델의 봇쪽에 를 곱하면 및 기대치 등급 조건은 다음과 같습니다. $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$

z

$\mathbf{z}$

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ 전체 열 순위입니다. 이 특정 예제와 z에 주어진 조건에서 이것은 . 따라서 6 개의 미지수에 6 개의 방정식이 있으므로 고유합니다. 시스템에 대한 솔루션, 즉 가 식별되며 입니다.

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$

b

$\mathbf{b}$

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

비고 : 조건 1은 모멘트 조건을 얻는 데 유용하지만 축소 된 양식 모델 은 순위 조건에 중요합니다. 두 조건이 모두 일반적입니다. $\phi$

이 시점에서 왜 이것이 필요한지 분명해야합니다. 한편으로는 z OLS 추정기가 없으면 실제 모델의 뿐만 아니라 모든 대해 일관되지 않은 추정기가 생성됩니다 . 반면에 (그리고 다소 관련이있는) 매개 변수는 고유하게 식별되므로 실제 모델에 명시된대로 실제 인과 관계를 추정하고 있습니다. $b_6$ $b_i$

테스트와 관련하여 조건 2 (z와 운동 은 부분적으로 상호 연관되어 있음)를 직접 테스트 할 수 있으며 이전 답변의 의견과 반대되는 단계를 항상보고해야합니다. 이 단계와 관련하여 특히 약한기구 문학에 관한 거대한 문헌이 있습니다.

그럼에도 불구하고 두 번째 조건은 직접 테스트 할 수 없습니다. 때로는 z의 사용을 뒷받침하는 가설을 정당화하거나 제공하기 위해 경제 이론을 불러 일으킬 수 있습니다.

— MauOlivares
소스

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언급 한대로 질문이 의미가 없습니다. 문제가 운동 이 내생 적 (오류 용어와 관련이 있음)이라고 말하면 솔루션에서 그 반대를 가정 할 수 없습니다. 또한, 일반적으로 IV 추정의 맥락에서 축소 된 구조 대 구조적 형태에 대해 말합니다. 운동 이 내생 적 인 경우 인과 적 영향을 얻기 위해 운동을 예측할 수있는 도구 (운동을 예측하지만 건강에 영향을 미치지 않는 변수)가 필요합니다. 예를 들어, 샘플의 일부 사람들이 임의로 체육관 회원권을 획득 한 경우 유효한 도구가 될 수 있습니다.

그러면 식별 가정은

쿠폰은 실제로 운동을 예측 합니다
쿠폰 직교 $u$

무엇이라고 구조적 형태는 이 식을 것, 하나의 원래 모델에 운동의 다른 회귀 쿠폰 원래 모델과 다른 설명 변수 (첫 번째 단계). 첫 번째 단계를 주요 방정식으로 대체하면 형태 가 줄어들 기 때문에 연령, 체중, ..., 일 및 쿠폰 에 대한 건강을 회귀합니다 (그러나 대체 된 운동 은 아닙니다 ). IV 추정의 속성을 설명하기 위해 축소 된 형식이 사용되는 경우가 있지만 실제로는 AFAIK가 많이 사용되지 않습니다.

— 이반 스 ml
소스