리시버는 언제 신호 게임에서 액션을 무작위로 배정해야합니까?

유한 메시지 공간 $M$ , 유한 액션 공간 $A$ 및 유한 타입 공간 갖는 시그널링 게임이 있다고 가정하자 $T$ . 더 간단하게도, 모든 발신자 유형은 동일한 기본 설정을 갖습니다 (수신기는 다른 유형에 따라 다른 작업을 선호합니다). 응답을 무작위로 랜덤 화하여 수신자가 엄격하게 더 잘 할 수 있습니까? 수신기가 순수한 행동만을 취하는 평형이 존재할 때?

유비쿼터스는 내 질문을 훌륭하게 요약했다. "최고의 수신자 지불금을 가진 평형이 반드시 혼합 전략과 관련이 있는가?"

순차적 평형으로가 봅시다. 어떤 표기법으로 시작하고 싶다면.

$\sigma_{t}(m)$ 은 $t\in T$ 보낼확률입니다. $m\in M$

$\sigma_R^m(a)$ 확률을 수신 응답하는지 $m$ 과 는 을 관찰 한 후 수신자의 신념을 알려줍니다. $a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$ $m$

순차 평형 필요 $\sigma_t$ 주어진주고 최적 반응 $\sigma_R$ , $\sigma_R$ 최적 주어진다 $\mu$ 및 $\mu$ 베이지안 주어진다 $\sigma$ . 이것은 실제로 약한 순차의 정의이지만 신호 게임에는 차이가 없습니다.

수신자가 순수한 행동만을하는 평형이있을 때 나의 직감은 '아니오'라고 말하지만, 나는 항상 이런 종류의 것들에 끔찍했습니다. 어쩌면 우리는 그것이 제로섬 게임이 아니라고 규정해야하지만, 나는 그 게임에서 무작위 화하는 능력으로 플레이어가 더 나아 졌음을 기억하기 때문입니다. 아마도 이것은 종이 어딘가에 각주입니까?

발신자 환경 설정이 동일하지 않은 아래 게임을 고려하십시오. 품질이 낮아서 죄송합니다. 세 가지 발신자 유형이 있으며 각 유형은 동일하게 가능합니다. 메시지 1을 받자 마자 무작위로받는 경우에만 수신자 (플레이어 2) 최적 평형이라고 생각하는 것을 만들 수 있습니다. 그러면 유형 1과 3은 를 재생 하여 분리 평형을 만듭니다. 수신기가 에 응답하여 순수한 전략을 사용하는 경우, 유형 1 또는 2가 벗어나 수신기를 악화시킬 수 있습니다. $m_2$ $m_1$

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

game-theory

— 프 버그
소스

유형에 따라 수신자가 취한 조치가 발신자가 보낸 메시지에 영향을 미치거나 독립적입니까?

— Martin Van der Linden

무슨 말인지 정확히 모르겠습니다. 하나의 리시버 유형이 있습니다. 이들의 전략은 메시지를 조치에 대한 분배로 맵핑합니다. 발신자가 최상의 응답을하는 한 메시지에만 영향을 미칩니다.

— Pburg

수신기가 일련의 동작

에 대해 랜덤 화하는 평형이 있다고 가정하자 . 이는 정의에 따라

대한 두 확률 분포 사이에 무관심해야한다는 것을 의미합니다. 모든 가중치가 단일 조치에 적용되는 것을 포함하여 (순수한 전략). 따라서 혼합 전략이 최고의 순수 전략보다 절대적으로 나을 수는 없습니다. 아니면 질문을 잘못 이해 했습니까?

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— 유비쿼터스

@ 유비쿼터스 그것은 나에게 의미가 있지만, 이상한 병리학 적 사례가 있는지 궁금합니다. 예를 들어, 나는 완벽한 리콜을 가진 유한 한 광범위한 형태의 게임에서 일반적인 지불 방식을 선택할 때, 연속적인 균형의 각 연결된 구성 요소에 대해 지 불량이 일정하다는 이론을 찾을 수있었습니다. 일반적인 경고는 나를 놀라게했다.

— Pburg

@Pburg 네, 알겠습니다. 우리는 다른 질문을 염두에 둔 것 같습니다. 나는 " 지정된 발신자 전략에 대한 수신자의 고유 한 최선의 반응이 혼합 된 전략 일까?"라고 생각했지만, 실제로는 가장 높은 수신자 지불금을 갖는 평형이 혼합 전략? "

— 유비쿼터스

답변:

아마도 나는 반례가 있습니다!

세 개의 메시지가하자 및 , 3 개 발신자 타입 여기서 $m_1, m_2,$ $m_3$ $t_1,t_2,t_3$ ,및. 보내면발신자에게을합니다. 게임을 종료 한 것으로 생각할 수 있습니다. $\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$ $\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$ $\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$ $m_3$ $0$

메시지 대한 수신자 응답 세트 는 $m=m_1,m_2$ $\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

$u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$ , , $u_R(t_3,m_i,a)=1$

$u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$ , , $u_R(t_3,m_i,r)=2$

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$ 입니다.

그런 다음 평형 상태에서 모든 발신자는 동일한 유틸리티를 사용해야합니다. 그렇지 않으면, 하나는 다른 사람의 전략을 모방 할 것입니다.

따라서 유일한 전략 균형은 모든 발신자가 을 선택하는 입니다. 또는 의 풀링 평형에서 가장 좋은 반응은 을 선택하는 것 입니다. 과 가 전송 하고 수신자가 응답하는 경우를 제외하고는 균형을 분리하는 순수한 전략이 없습니다 . 그런 다음 은 모든 메시지 사이에 무관심합니다. 왜냐하면 그는 반드시 payoff 충족하기 때문 입니다. 이 모든 것은 수신자에게 $m_3$ $m_1$ $m_2$ $r$ $t_1$ $t_2$ $m_2$ $r$ $t_3$ $0$ $\frac{3}{2}-\epsilon$

그런 다음 및 이제 발신자는 두 메시지를 보내는 데 무관심합니다. 그런 다음 $\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$ $\sigma_R^{m_2}(a)=1.$ 및 $\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$ 위한. 그런 다음 수신자 전략이 합리적입니다. $\sigma_{t_i}(m_i)=1$ $i=1,2$

또는 이 주어지면 에서 수신자의 예상 유틸리티 는 1.5입니다. 의 예상 유틸리티는을 감안 1.5보다 약간 높습니다 . 따라서 예상되는 대가는 이상이며 위에서 설명한 순수한 평형보다 낫습니다. 또한,이 분리는 혼합에 의해서만 유지된다. 수신자가 취한 다른 순수한 전략은 발신자 풀링을 유발할 것 입니다. 이는 수신자가 선택할 때의 순수한 전략 평형뿐입니다 . $m_1$ $a$ $r$ $m_2$ $a$ $\frac{3}{2}-\epsilon$ $r$

왼쪽 발신자 대금을 지불하려면 아래 그림에 가 있어야 . 이 핵심 요소 라고 생각합니다 . $\beta$ $a$ $\beta<1$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 프 버그
소스

위험 회피 발송 인, 위험 중립 수신자 및 부자 에게는 이것이 불가능하다고 생각합니다 . $A$

예를 들어, 표준 신호 모델을 고수하기 위해 $A$ 긍정적 인 실제 라인과 보낸 사람의 유틸리티입니다 증가하고 수신기의 선형 유틸리티 감소있는 동안 . $u$ $a$ $a$

(이것은 프레임 워크가 귀하의 질문에 대한 프레임 워크보다 훨씬 덜 일반적이므로 귀하에게 만족스럽지 않을 수 있기 때문에 이것은 부분적인 대답 일뿐입니다.이 가정에 만족하는 경우 여전히 논쟁을 제기합니다)

모순을 도출하기 위해 평형 상태에서 $\sigma^m_R(a') > 0$ 위해 및 . 허락하다 $\sigma^m_R(a'') > 0$ $a' \neq a'' \in A$

a^{‴} \equiv \frac{σ_{R}^{m} (a^{'})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} a^{'} + \frac{σ_{R}^{m} (a^{″})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} a^{″} .

$a''' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a' + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a''.$

위험 회피

u [a^{‴}] > \frac{σ_{R}^{m} (a^{'})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} u (a^{'}) + \frac{σ_{R}^{m} (a^{″})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} u (a^{″}) .

$u[ a''' ] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a'').$

[σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})] u (a^{‴}) > σ_{R}^{m} (a^{'}) u (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″}) u (a^{″}) .

$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a''' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$

일부 연속성 가정 하에서도 존재해야합니다

a^{⁗} < a^{‴}

$a '''' < a'''$

그런

[σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})] u (a^{⁗}) = σ_{R}^{m} (a^{'}) u (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″}) u (a^{″}) .

$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a'''' ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$

따라서 다음과 같이 구성된 고려 하십시오. $\sigma^m_R{'}$

$\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a'') = 0$ ,
$\sigma^m_R{'}(a'''') = \sigma^m_R(a'''') + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')]$
다른 모든 경우 $\tilde{a}$ $\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

수신기는 선호 이상 경우 는 발신자가 보낸 신호를 변경하지 않았다가 낮은 것으로 보상을 포함하기 때문에. 그러나 건설함으로써 발신자 사이 무관심 및 그들과 동일한 신호를 전송해야하므로, . 따라서 은 평형이 될 수 없으며, 평형에서 양의 확률로 두 가지 다른 행동을 할 수 없다는 것을 보여줍니다. $\sigma^m_R{'}$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R{'}$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R$

— 마틴 반 데르 린덴
소스

이 모델에서는 수신자가 항상 선택하지는 않습니다 .

a = 0

$a=0$

— Pburg

나는 이것이 반드시 그런 것은 아니다. 수신기가 항상 choses하지 않으면 어떤 신호를 중요, 그녀는 인센티브 "높은"종류는 "높은"신호 저점 자신의 유형을 표시하지 않습니다. 이는 풀링 평형에서는 최적 일 수 있지만 분리 평형에서는 그렇지 않을 수 있습니다. 설치가 당신의 조금 다른 다시 있지만, 마스 - Colell, Whinston 및 녹색의 인스턴스 섹션 13.C를 참조하십시오 (예를 들어, 거기에 두 개의 서로 다른 유형의 근로자에 대해 경쟁 기업)

a

$a$

— 마틴 밴 린든 데르

"수신자에 선형 유틸리티 감소가 있음"은 무엇을 의미합니까?

— Pburg

미안하지만 명확하지 않았습니다. 내가 생각하고있는 Spence 신호 모델에서, 수신자가 취하는 행동은 발신자에게 임금을 지불하는 것입니다. 수신자 유틸리티는 발신자 t의 유형에서 임금 tw를 뺀 값에 따라 다릅니다. 기본적으로, 수취인은 위험 중립적입니다 : 그녀는 지불해야 할 예상 임금과 그녀가 고용 할 예상 유형에 대해서만 관심이 있습니다.

— Martin Van der Linden

좋아, 나는 이것을 2 차 손실, 로 보았다고 가정한다좀 더 일반적이지만 별도의 조치를 취하고 있지만 제안에 감사드립니다.

- (t - w)^{2} .

$-(t-w)^2.$

— Pburg