위험 회피로 인해 한계 효용이 감소하거나 그 반대가 되는가?

세계의 가능한 상태로 설정하거나 사람이 가질 수있는 선호도를 보자 . 하자 예를 통해 확률 분포의 세트 "도박"또는 "복권"들의 집합 . 그런 다음 각 사람은 의 상태를 선호하고 의 복권을 선호 합니다. von Neumann-Morgenstern 정리에 따르면 보다 선호하는 순서가 특정 합리성 공리를 준수 한다고 가정하면 선호도 는 유틸리티 함수 u : A → ℝ 로 나타낼 수 있습니다 . (이 함수는 스칼라의 곱셈과 상수 추가에 고유합니다.) 이는 두 복권에 대해 L_1 을 의미합니다.$A$$G(A)$$A$$A$$G(A)$$G(A)$$u: A → ℝ$$L_1$및 $L_2$ 에 $G(A)$ , 당신이 선호하는 $L_1$ 에 $L_2$ 경우와의 기대 값 경우에만 $u$ 에서 $L_1$ 예상 값보다 큰 $u$ 에서 $L_2$ . 즉, 유틸리티 기능의 예상 값을 최대화합니다.

유틸리티 함수의 기대 값을 최대화한다고해서 돈과 같은 실제 물건의 기대 값을 최대화한다는 의미는 아닙니다. 결국 사람들은 종종 위험을 회피합니다. 그들은 "손에 든 새가 덤불에 두 마리의 가치가있다"고 말합니다. 위험 회피는 당신이 얻는 돈의 예상 가치보다 낮은 도박을 평가한다는 것을 의미합니다. von Neumann-Morgenstern 유틸리티 함수로이 개념을 표현하면 Jensen의 불평등을 통해 다음과 같은 결과를 얻습니다. 유틸리티 함수가 돈의 오목한 함수, 즉 당신은 위험 회피는 돈의 한계 효용이 감소하는 정도와 같습니다. ( 이 PDF의 13 페이지를 참조하십시오 .)

내 질문은 인과 관계가 어느 방향으로 진행 되는가입니다. von Neumann-Morgenstern 유틸리티 기능의 가치는 선호도의 강도를 반영하며, 가난하고 가치가있는 미래 버전의 선호도에 비해 미래의 자아 선호도를 할인하여 위험 회피입니다. 돈 더 (브래드 딜 롱이 여기에서 제안한 것처럼 ) 또는 인과 관계가 다른 방식으로 실행 되는가 : von Neumann-Morgenstern 유틸리티 기능이 선호도의 상대 강도에 대해 아무 것도 알려주지 않도록 위험에 대한 내성이 유틸리티 기능의 형태를 결정합니까?

나는 노벨상 수상자 John C. Harsanyi의 1994 년 논문 "von neumann-morgenstern 유틸리티의 규범 적 타당성과 의미"에서 발췌 한 나의 질문에 대한 답을 찾았다 고 생각한다 . 과학. Harsanyi는 Alecos가 자신의 대답에서 입증 한 것과 동일한 정리, 즉 가 개인의 vNM 유틸리티 함수이면$u$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$10 달러의 50 %와 0 달러의 50 % 확률에 비해 보장 된 5 달러를 선호한다면 의견 섹션에서 나는 vNM 유틸리티 함수가 선호도의 강도를 나타냈다는 것을 입증하기에 충분하지 않다고 말했다. 왜냐하면 개인의 실제 즐거움과 고통이 단조로운 변환이지만 아핀 변환이 아닌 다른 유틸리티 함수 의해 정확하게 설명 되었기 때문 입니다. 의 ? 이 경우 는 예상 값 속성을 충족시키지 못하고 ?$v$$u$$v$$v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi는이 문제를 다루는 영리한 주장을하고 있습니다. 하자 ,하자 당신이 5 달러를 보장받을 복권 될 , 당신은 10 달러의 50 %의 확률로 0 달러의 50 %의 확률로 추첨하고하자 당신의 50 %의 확률로 추첨 할 10 달러, 50 % 확률은 5 달러입니다. 그렇다면 분명히 그 사람은 을 과 보다 선호합니다 . 그리고 하사 니는 주장 선호된다 이하보다 강하게 선호된다 경우에만, . 그 이유는$L_1$$L_2$$L_3$$L_3$$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$$L_3$ vs , 5 달러를받는 시간의 50 %, 10과 5 사이에서 선택 시간의 50 %, 과 사이의 선택에서 10 %를 얻는 시간의 50 %, 50 %는 5와 0 사이에서 선택해야합니다. $L_1$$L_3$$L_2$

이제 여기에 마스터 스트로크는 온다 : 선호된다 와 경우에만 경우 선호된다 덜 강하게보다 선호된다 . 따라서 선호된다 경우에만, . 따라서 우리는 경우에만 이라는 큰 결론에 도달합니다. .$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$L_1$$L_2$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

따라서 Harasanyi는 vNM 유틸리티 기능이 기본 설정 강도를 나타낸다는 결론에 도달합니다. 따라서 내 질문에 대한 대답은 vNM 유틸리티 기능의 한계 유틸리티 감소가 선호도의 강도와 관련하여 진정한 감소 한계 유틸리티를 반영하므로 (vNM 공리가 참이라고 가정) 한계 유틸리티 감소는 실제로 위험의 원인입니다 혐오.

그런데, 우리는 모든 기능들의 세트를 식별 할 수 있는지 측 참고 I 경이에 해당 만족 제약이 경우에만, (및 유사하게 크거나 같음). (편집 : 나는 Mathematics.SE에 이것에 대해 물어 여기에 .)$v$$u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$$v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

유틸리티 기능은 기본적으로 선택에서 유추되는 기본 설정을 나타냅니다. 기본 설정은 유틸리티보다 우선합니다. 나는 유틸리티와 환경 설정 인과 관계, 수학적 관계를 연결하지 않습니다.

위험 회피 (위험 선호)는 시간 선호를 측정하는 할인과 관련이 없습니다. 위험 회피는 미래의 자아의 선호도를 할인함으로써 발생한다고 말하는 것은 이치에 맞지 않습니다.

예상 유틸리티 속성은 유틸리티 기능의 기능적 형태에 따라 달라지는 속성이 아닙니다 . 그것의 존재는 인간의 선호 / 행동과 관련이있는 특정 "축소"(보다 정확하게 "조건"으로 기술 될 것임)를 만족시키는 것에 달려있다. 그것들은 엄격한 수학적 표현 (좋은)을받을 수 있지만, 기본 설정과 관련이 있습니다. 즉, 유틸리티 기능을위한 기능적 형식이 지정되기 전에. 그게 무슨 뜻인지 봅시다. 의견에서 OP는 썼다

"... x, y 및 z가 A의 고정 된 세 요소 인 경우 수량 는 사람마다 다릅니다 ( vNM 공리를 만족시키는 사람들 사이에서) 그러나 같은 사람에 대한 다른 vNM 유틸리티 기능마다 다르지 않으므로이 양은 사람에게 특정한 것을 전달합니다. "$[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

그렇습니다.

에서 인용 Jehle 및 RENYI (2011) "고급 미시 경제 이론"(3D 에디션) , 채널. 2 인. 108

"우리는 유틸리티 차이의 비율이 개인의 선호에 관한 고유 한 의미를 갖는다는 결론을 내립니다. VNM 유틸리티 표현 (약한 선호도 관계)의 모든 VNM 유틸리티 표현에 대해 동일한 값을 가져야합니다. 따라서 VNM 유틸리티 표현은 그렇지 않으면, 적절한 모노톤 변환을 통한 의사 결정자의 선호도는 이러한 비율이 많은 다른 가치를 가정 할 수 있습니다. "

인용문 바로 앞의 예에서 그들은

$$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$$

여기서 는 모델링하는 환경 설정을 반영하는 확률입니다. 다시 인용 (p. 107)$\alpha$

"확률 숫자 는 의사 결정자의 선호도에 의해 결정되며이를 반영합니다. 이는 의미있는 숫자입니다. 두 배나 상수를 추가하거나 변경하지 않고 어떤 식 으로든 변환 할 수 없습니다. 관련된 환경 설정입니다. "$\alpha$

그리고 는 승률입니다 ( "odds ratio"가 아님). $(1-\alpha)/\alpha$

vNM 유틸리티 기능은 개인의 선호도를 특성화 할 수있는 확률과 관련이 있습니다.

부록
OP와의 의견에 대한 흥미롭지 만 너무 긴 의견과 생각의 교환 후, 나는 선호도에 대한 특정 이론의 맥락에서 우리가 논의하고있는 "선호도의 강도"를 보여주기 위해 예를 들어이 답변을 강화하기로 결정했다. "(비공식적으로 논의 된 바와 같이)"는 "위험에 대한 태도"에서 분리 될 수 없습니다-그것들은 불가분의 관계에 있습니다.

개인이 다음과 같이 선언한다고 가정하자 : "내 선호는 단조롭고 나는 더 선호한다. 게다가, 다음 5 유로는 나에게 5 유로와 똑같은 유용성을 줄 것이다". 이것은 개인이 말하는 것입니다. 우리는 유틸리티가 추기경이 될 수 있는지 아닌지 질문 할 수 없습니다. 편의를 위해 0부터 시작하여 우리는 그의 진술을 다음과 같이 상징합니다.

$$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$$

OP와의 논의와 관련하여 이것은 "선호도 강도"에 대한 진술입니다.

우리는이 각각의 다음 선택에 제시 다음 : 그 중 하나를 얻을 수있다 유로, 또는 그는 도박에 참여할 수있는 그가 얻을 것이다 확률로 유로 또는 확률 유로 . 그런 다음 개인 은 유로를 확실하게 얻는 것을 엄격하게 선호 한다고 선언합니다 . 이것은 "위험에 대한 태도"를 나타내는 진술입니다.$5$$G$$0$$1/2$$10$$1/2$$5$

질문 : 이 개인의 선호도는 두 가지 진술로 설명 된 바와 같이 예상 유틸리티 재산을 소유 한 유틸리티 기능으로 표현 될 수 있습니까?

답 : 아니요.

증명 : 두 번째 진술에 따르면, 개인은 도박 의 확실성 가 유로 미만 이라는 것을 밝혀 냈습니다 .$CE_G$$5$

그러므로 우리는

$$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$$

Expected Utility 속성을 유지하려면 다음과 같은 경우 여야합니다.

$$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$$

(개인의 "위험에 대한 태도"를 나타냄 로 인해$(2)$

$$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$$

그러나 이것은 개인의 "선호도 선호도"를 나타내는 과 모순된다 . $(1)$

따라서 우리는 위의 진술로 선호 사항을 설명하는 개인은 예상 유틸리티 속성을 보유한 유틸리티 함수로 표현할 수 없다고 결론 내립니다.

즉, 예상 유틸리티 특성을 유지하기 위해 "위험에 대한 태도"를 "기본 설정 강도"에서 분리 할 수 ​​없습니다. 개인이 자신이 유로와 도박 사이에 무관심하다고 선언했다면, 그의 선호는 EU 재산을 가진 유틸리티 기능으로 나타낼 수 있습니다. 그러나이를 달성하기 위해 "위험에 대한 태도"를 "선호도"와 "조정"해야했습니다.$5$$G$