테이크-어-리브-잇 PBE

완벽한 베이지안 평형을보고 흥미로운 질문을 찾았습니다. 나는 믿음이 이산 적이 지 않은 질문을 보지 못했습니다.

판매자에게 가치가없는 개체의 단일 잠재적 구매자가 있습니다. 이 구매자의 평가 v는 [0, 1]에 균일하게 분포되어 있으며 개인 정보입니다. 판매자 는 구매자가 수락하거나 거부 하는 가격을 지정합니다. $p_1$

그가 수락하는 경우, 객체는 합의 된 가격으로 거래되며 구매자의 지불은 이고 판매자의 지불 은 입니다. $v − p_1$ $p_1$

그가 거부하면 판매자는 다른 가격 제안을한다 (p2). 구매자가이를 수락하면 그의 대가는 이고 판매자는 (여기서 . $\delta_(v − p_2)$ $\delta p_2$ $\delta = 0.5$

그가 거절하면, 두 선수 모두 0을 얻습니다 (더 이상의 제안은 없습니다).

완벽한 베이지안 평형을 찾으십시오.

나의 일반적인 접근 방식은 신념을 고치는 것이지만, 지속적인 신념으로 이것을하는 방법을 잘 모른다. 어떤 충고?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— 브라이언
소스

죄송합니다. 부분적인 조언을 제공하는 쉬운 방법을 생각할 수 없었습니다. 이것은 좋은 운동입니다. 수업 시간에 사용해 본 적이 있습니까?

— Giskard

물론, 부담없이!

— Brian

어제 나쁜 해결책을 게시 한 후 더 나은 해결책을 얻었습니다.

구매자의 전략은 두 가지 기능으로 구성됩니다. $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ 두 기능 모두 $\left\{A,R\right\}$ (어디 $A$ 수락을 나타냅니다. $R$ 거부). 판매자의 전략은 $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ . 역 유도를 통해 솔루션을 얻습니다. PBE에서 $f_2(v,p_1,p_2)$ 에 매핑 $A$ 만약에 $v \geq p_2$ . PBE에서 판매자는 세트가 있다고 믿습니다. $H$ 구매자가 제안을 거부 한 유형 $p_1$ . 그때

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ 구매자는 제안을 수락합니다

p_{1}

$p_1$ 만약에

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$ 이것으로부터 당신은 얻는다

V \cdot (1 - δ) \geq 피_{1} - δ \cdot 피_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$ 이 방정식의 왼쪽은

v

$v$ 따라서 평가가 높은 유형이 수락됩니다. 이것은 PBE에서 세트가

H

$H$ 그런

H = [0, \bar{V}) .

$H = [0, \bar{v}).$ 이것으로부터 우리는 최적을 얻는다

p_{2}

$p_2$ 주어진

\bar{v}

$\bar{v}$ :

피_{2}^{※} = 인수 \underset{피_{2}}{최대} 피_{2} \cdot 피 아르 자형 영형 비 (V \geq 피_{2} | V \in [0, \bar{V})) = \frac{\bar{V}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$ PBE에서

\bar{v}

$\bar{v}$ 의 기능이다

p_{1}

$p_1$ :

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ 그래서

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$ 모든 PBE 전략을 결정했지만

p_{1}

$p_1$ . 판매자의 예상 보수는

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$ 어디

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$ 이것을 대체하면 우리는 얻을

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

이 wrt를 최대화해야합니다 $p_1$ . 와 $\delta = 0.5$ 알았어

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— 기스 카드
소스

이 질문은 폐쇄 단위 간격으로 표시되는 다른 평가의 소비자를 선별하려는 회사로 해석 될 수 있다고 생각합니다. 최적의 가격 책정 체계는 두 가지 가격을 설정하여 높은 평가를받는 고객이 첫 단계에서 더 높은 가격으로 지불하고 낮은 평가를받는 고객 중 일부는 두 번째 단계에서 더 낮은 가격으로 지불하는 것입니다.

— Metta World Peace

유틸리티가 2 라운드에서 왜 다른지 설명해야합니다. 판매자에게는 간단한 할인이 될 수 있지만 구매자에게는 그렇지 않습니까? 재화가 내구성이 좋으면 재화를 구매하는 유형이 두 라운드 모두에서 약간의 혜택을받습니다.

— Giskard

나는 잘 따르지 않습니다. 구매자가 2 차에서 파생 된 유틸리티를 할인 할 수없는 이유는 무엇입니까? 이것은 2주기 가격 감추기로 해석 될 수 있습니다.

— Metta World Peace

당황하지만 지금 까지이 모델에 대해 들어 본 적이 없습니다. 당신은 맞습니다, 이것은 위의 게임을 잘 설명합니다.

— Giskard

당신은 구매자가 수락 할 것이라고 말했다

p_{1}

$p_1$ 만약에

V - 피_{1} \geq δ (V - 피_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$ 그러나 구매자는 둘 다 거부하지 않습니다

p_{1}

$p_1$ 과

p_{2}

$p_2$ ~보다 크다

v

$v$ 위의 불평등이 충족되는지 여부에 관계없이

— Franklin Pezzuti Dyer