대체의 탄력성을 어떻게 이끌어 내는가?

두 상품 와 y 의 경우 치환 탄성은 σ ≡ d log ( $x$$y$

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$$

나는 두 가지로 혼란스러워합니다.

1. 왜 우리는 $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$ ? 우리는 무엇과 차별화하고 있습니까?
2. 그것을 위의 관계를 보여주기 위해 어떻게 사용합니까?

누군가 설명 할 수 있습니까?

치환 탄성을 유도하는 방법

첫 번째 단계는 미분의 정의를 회상하는 것입니다. 만약 함수가있는 경우 , 가령, F를 ( X 1 , ⋯는 , X N ) , 다음 : D F = ∂ $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$$f(x_1,\cdots,x_n)$

$${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$$

$$d\log v = \frac{1}{v}dv$$

이제 라고 가정하자$v = \tfrac{y}{x}$

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

$v = \tfrac{U_x}{U_y}$

$$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$

다시 말해, 문제를 (1) 미분의 정의를 이해하고 (2) 간단한 변수 변경을 사용 하면 문제가 매우 간단 해집니다.

그런 다음 얻을

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$$

곁에:

$d(y/x)$

$$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$

이것은 의미가 있습니다

$$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

그리고 당신이 계산하면

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

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대체의 탄력성은 무엇입니까?

$MRS$