수요 추정의 OLS 편향 :이 편견은 항상 수요의 탄력성을 과소 평가합니까?

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일부 논문에서는 OLS가 계측기의 품질에 따라 IV 추정보다 바이어스가 적을 수 있다고 주장합니다. 수요 추정 방정식을 고려한다고 가정하자.

OLS에서 수요 탄력성이 마이너스라고 가정하십시오. 내 직감에 의해 약한 도구는 OLS에 대한 치우친 추정치를 산출해야하지만, 부정적인 것은 아닙니다. 예를 들어 줄 수 있습니까? IV 추정으로 더 편향된 추정으로 이어지는 방법을 실제로 파악할 수는 없습니다.

econometrics

— 존 도우
소스

IV는 편향되어 있지만 일관성이 있으므로 귀하의 진술이 사실이라고 생각합니다. 그러나 나는 그것이 당신의 목표에 달려 있다고 생각합니다. 예측과 추론.

— user157623

첫 번째 문장에서 언급하는 "일부 논문"(바람직하게는 잘 알려진 논문 또는 검토 된 검토 유형)은 무엇입니까? 나는 그들을보고 관심이 있습니다. 감사.

— 김정은

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일반적으로 입니다. 분모가 0이됩니다. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

기기와 오류 항 사이에 상관 관계가없는 경우에 해당하며, 추천자는 기기와 내생 변수 간의 관계의 강도입니다. 분모가 작을수록 바이어스 가 커 집니다. $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

또한, 약한 계측기는 정밀도를 가지지 않으므로 편차가 큰 상향 바이어스를 갖습니다.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

마찬가지로 $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

따라서 장비가 약한 경우 OLS 회귀를 실행하는 것이 좋습니다.

— 녹스
소스

IV 추정기의 첫 번째 분산에 대한 방정식에서, 편향되지 않은 베타 베타의 분산이 누락되었다고 생각합니다. IV 추정기의 치우침과 관련된 부분에만 분산을 할당합니다. 내가 틀렸다면 내가 잃어버린 것을 설명해주세요.

— John Doe

" " 다음에 오는 줄 은 정확히 분산이 아닙니다 (분자에는 제곱 표기법이 누락되고 오타 만 있음). 가 내생 분모가 랜덤 하고 분산이 훨씬 더 복잡합니다.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

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약한기구 내 생성 과 결합 된 약한기구 는 OLS보다 큰 편향을 유발할 수 있습니다. Nox의 답변에서 알 수 있듯이 IV 추정기의 확률 한계는 입니다. 경우 경우 작지만 작고, 그 바이어스가 클 수있다. 444 페이지의 방정식 (7)에 따른 Bound, Jaeger 및 Baker (1995, JASA)의 설명을 참조하십시오. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"식 (7)에서 잠재적 인 내생 변수 와 기기 사이의 약한 상관 관계 는 기기와 오류 사이의 상관 관계와 관련된 문제를 악화시킬 합니다. 계측기와 내생 설명 변수가 약한 경우 계측기와 오류 사이의 작은 상관 관계조차도 OLS 추정값보다 의 IV 추정값에서 더 큰 불일치를 생성 할 수 있습니다 . " $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

도구 내 생성이 없으면 IV 추정기의 치우침 (한계 분포의 확률 한계는 없을 수 있음)이 OLS의 불일치보다 크다고 생각하지 않습니다.

고려해야 할 또 다른 사항은 매우 약한 계측기를 사용하는 IV 추정기의 분산이 매우 큰 조차도 클 수 있으므로 우연히 데이터 세트에 대해 IV가 OLS보다 더 넌센스를 추정 할 수 있다는 것입니다. $n$

— chan1142
소스