동적 최적화 : 2 차 주문 조건이 유지되지 않으면 어떻게됩니까?

다음과 같은 동적 최적화 문제

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOC

해밀턴은

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ 의해 주어집니다. 최적의 조건은 최대 값에 의해 주어집니다 원리 $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

가정 $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ 극대화 즉이다 $H_{uu} < 0$ .

SOC

화살표가 충분한 정리는, 최대화 된 Hamiltonian

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ 이 오목 하면 필요한 조건이 충분하다고 말합니다 . $x$ , 즉 경우 $H_{xx} < 0$ .

문제

FOC는 보류하지만 SOC는 보류하지 않는다고 가정하십시오.

• 솔루션의 최적성에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

단일 답변은 없으며 각 문제의 세부 사항에 따라 다릅니다. 표준 예를 보자.

Ramsey 모델에 대한 벤치 마크 시간 간 최적화 문제를 고려하십시오.

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

해밀턴의 현재 가치는

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

우리 혼자서 이상 최대화$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

유틸리티 함수가 오목한 경우 2 차 조건이 유지됩니다.

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

또한 지역 비 만족도가 유지되는 경우 소비에 관한 1 차 조건에서 입니다. 우리가 그러한 "일반적인"환경 설정을 가지고 있다고 가정하십시오.$\lambda >0$

해밀턴의 최대 소비량은

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

상태 변수 대한 편미분 은$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

따라서 Arrow-Kurz의 충분 성 조건은 자본의 한계 생산량이 감소, 일정 또는 증가하는지에 따라 결정됩니다 (생산 기능의 2 차 도함수의 부호에 따라 다름). 표준 경우 이고 충분한 조건이 있습니다.$f''(k) < 0$

가장 유명한 편차의 경우 , 내생 적 성장 문헌 인 을 시작한 Romer의 모델 은 자본의 한계 생산량이 양의 상수입니다.f ″ ( k ) = $AK$$f''(k) =0$

이 경우에 우리는 무엇을 말할 수 있습니까?

여기, Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1977). 최적 제어 이론의 충분한 조건. 국제 경제 검토, 367-391. 우리를 도울 수있는 다양한 결과를 제공하십시오.

특히, 그들은 해밀턴 인이 와 에서 공동 오목한 경우, 최대 조건이 충분 하다는 것을 증명합니다 . 해밀턴의 헤 시안은$c$$k$

(할인 기간은 무시해도됩니다)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

표준 경우 이 값은 음의 한정 행렬이므로 Hamiltonian은 및 에서 공동으로 엄격하게 오목 합니다. c $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

하면 행렬이 네거티브 semidefinite임을 확인이 정의를 사용하여 간단하다. 벡터 및 곱을 고려하십시오z = ( z 1 , z 2 ) T ∈ R$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

이 약한 불평등은 를 포함하므로 Hessian은 와 에서 공동으로 오목 합니다. c $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

따라서 내생 적 성장 의 모델에서 솔루션은 실제로 최대입니다 (물론 문제를 잘 정의하는 데 필요한 매개 변수 제약 조건에 따라 다름).$AK$