기대 효용 이론에서의 연속성 공리

연속성의 다음 정의를 사용하십시오.

L, L ', L' '\ in \ mathcal L 에 대해 세트 S_1 = \ {\ alpha \ in [0,1] : \ alpha 인 경우 추첨 공간 \ mathcal L에 대한 선호 관계 은 연속적입니다 . L + (1- \ alpha) L '\ succsim L' '\} 및 S_2 = \ {\ alpha \ in [0,1] : L' '\ succsim \ alpha L + (1- \ alpha) L'\} 은 둘 다 닫혔다.$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

반드시 $S_1\cup S_2=[0,1]$ 입니까? 그렇다면 왜 그렇습니까?

그것은. 선호도 관계
의 속성 인 연속성 이전에 선호도 관계 자체는 특징으로하는 완전성 으로 시작되는 이진 관계 로 정의 되었습니다 . 그런 경우 , 그것의 일부 값이 존재한다는 것을 의미 어딘가에을 , 그것들을 호출 되는 $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

둘 다

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

...도 아니다

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

즉, 이들에 대한 의, 한 쌍 주문 할 수없는 전혀 . 그러나 이것은 심지어 선호도 관계를 얻는 데 필요한 완전성 기초와 모순 됩니다 (물론 우리의 이론에서 사용됩니다. 심리학자들은 동의하지 않을 것입니다).$\tilde \alpha$

또한 특정 상황에서 복권 공간을 더 작은 것으로 제한하더라도 완전성은 모든 가능한 쌍에 대해 정의됩니다. 고려중인 복권이 지정된 복권 공간에 속하는지 여부는 실제로 관련이 없습니다. 선호하는 사람은 "가설적인"시나리오로도 어떤 경우에도 그것들을 주문할 수 있어야합니다 (엄밀히 말해서, 특정 문제에 대해 우리는 "복권"은 이용 가능한 복권에 대해서만 완전성을 부과합니다. 우리가 추첨 공간을 넓히면 완전성과 관련하여 "무의미한 남아 있습니다."