연속 시간의 확률 적 성장

문헌 : 이론적 부분 은 Chang (1988) 및 Achdou et al. (2015) 는 각각 숫자 부분입니다.

모델

1 인당 표기법에서 다음과 같은 확률 적 최적 성장 문제를 고려하십시오. 모든 것이 표준 인 를 제외하고 표준 입니다. 표준 위너 과정의 증가, 즉, . 모집단 성장률은 평균 및 분산 입니다.

\begin{aligned} \underset{씨}{최대} \int_{0}^{\infty} {이자형}^{- ρ 티} 유 (씨) 디 티 \\ 성 & 디 케이 = [에프 (케이) - (엔 - σ^{2}) 케이 - 씨] 디 티 - σ 케이 디 지 \\ 씨 \in [0, 에프 (케이)] \\ 케이 (0) = {케이}_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

분석 솔루션

Cobb-Douglas 기술은

\begin{aligned} 에프 (케이) = {케이}^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

및 CRRA 유틸리티

\begin{aligned} 유 (씨) = \frac{씨^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Hamilton-Jacobi 설정 -벨만 방정식 (HJB-e)

\begin{aligned} ρ V (케이) = \underset{씨}{최대} {\frac{씨^{1 - γ}}{1 - γ} + V^{'} (케이) ({케이}^{α} - (엔 - σ^{2}) 케이 - 씨) + V^{″} (케이) \frac{{케이}^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

첫 번째 주문 조건 (FOC)은

\begin{aligned} 씨 = V^{'} (케이)^{- \frac{1}{γ}} = : π (케이) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ 여기서

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ 는 정책 기능을 나타냅니다.

FOC를 HJB-e로 교체하십시오.

\begin{aligned} ρ V (케이) = \frac{V^{'} (케이)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + V^{'} (케이) {케이}^{α} - V^{'} (케이) (엔 - σ^{2}) 케이 - V^{'} (케이)^{\frac{γ - 1}{γ}} + V^{″} (케이) \frac{{케이}^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

우리의 기능적 형태 추측 가진 ( POSCH (2009 당량. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} V (케이) = Ψ \frac{{케이}^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

여기서 는 상수입니다. 의 제 1 및 제 2 차 미분 값 주어진다 $\Psi$ $v$

\begin{aligned} V^{'} (케이) & = Ψ {케이}^{- α γ} \\ V^{″} (케이) & = - α γ Ψ {케이}^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

그러면 HJB-e는 를 읽습니다.

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{{케이}^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} {케이}^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ {케이}^{α (1 - γ)} - (엔 - σ^{2}) Ψ {케이}^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} {케이}^{α (1 - γ)} - α γ Ψ {케이}^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & {케이}^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + 엔 - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = {케이}^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

다음 조건이 인 경우 최대화 된 HJB-e는 true입니다.

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

를 로 대체 하여 진정한 가치 함수 $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{{케이}^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

그 는 어떻게 의존하지 않습니까? $v$ $\sigma$

따라서 결정론과 확률 론적 가치 함수는 동일해야합니다. 그런 다음 정책 기능을 쉽게 제공 할 수 있습니다 (FOC 및 파생 기능 사용)

\begin{aligned} π (케이) = (1 - \frac{1}{γ}) {케이}^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

이 함수는 에도 의존하지 않습니다 . $\sigma$

수치 근사

나는 upwind scheme으로 HJB-e를 풀었다. 오차 허용 오차 . 아래 그림에서 다양한 대한 정책 기능을 플로팅합니다 . 를 들어 나는 진정한 솔루션 (보라색)에 도착한다. 그러나 경우 대략적인 정책 기능은 실제 정책 기능과 다릅니다. 가 의존하지 않기 때문에 어느 것이 맞지 않아야 합니까? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

근사화 된 정책 기능은 어떤에 대해 동일해야 누구 확인할 수 있습니다 진정한 하나의 독립적이기 때문에, ? $\sigma$ $\sigma$

— 우 둔
소스

이것은 매우 구체적이다 : 당신은 "다음 조건이 유지 IFF에 최대화 HJB-e는 사실"이라고 기입 한 후 여기에서 날 귀찮게하는 조건 "IFF"처음이다 평등 간에서 유지되어야하는 관계 모델의 모든 매개 변수 -preference 매개 변수, 인구 증가, 자본 생산성 및 변동성. 나는 매개 변수의 매우 좁은 조건에 유효성이 의존하는 추측 된 함수로 실제로 작업 할 수 있습니까?

— Alecos Papadopoulos

글쎄, 여기서 나는 실제로 를 나머지 네 개의 매개 변수의 함수로 수정합니다. 따라서 보유 하면 방정식은 항상 참 입니다. 궁금합니다 : 함수를 추측 할 수없는 규칙이 있습니까? 우리는 진정한 솔루션을 찾는 데 관심이 있으며 특정 조건에서 진정한 솔루션을 얻습니다. 이론적 인 관점에서 당신을 괴롭히는 것이 확실하지 않습니까? 물론, 그것은 경험적인 작업을 제한 할 수 있지만, 여기서 중요한 것은 아닙니다. 우리는 오히려 HJBe를 해결하는데 관심이 있으며 그렇게 할 수 있습니다. 실증주의 자라면 (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— 단서

추정 하고 조건을 위반 한 것으로 판단되면 모델을 거부 할 수 있습니다. 그러나 솔루션은 원칙적으로 그대로 유지됩니다. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— 단서

나의 관심사는 경험적 타당성에 관한 것이 아니다. 내가 궁금한 것은 값 함수 의 기능적 형태 에 대한 특정 추측이 어느 정도 매개 변수 사이의 관계에 달려 있는지입니다. 경험적 데이터를 참조하지 않고 관계가 유지되지 않는다고 가정하면 어떻게됩니까? 에서 지수가 아닌 값 함수를 추측해야합니까 , 아니면 지수 구조를 유지하는 데 충분하지만 매개 변수를 포함시키는 다른 방법을 시도해보십시오. (그런데, 나는 또한 당신의 주된 질문을 조사하고 있습니다.이 토론은 아마도 말초 일 것입니다)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

최적화 문제가 올바르게 설명되어 있습니까? 예를 들어 ? 지금 언급했듯이, 와 는 Wiener 프로세스 주어진 값을 가정합니다 .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

코멘트 더 :

문제의 진술에 기대 연산자가 있어야합니다. 그렇지 않으면 문제가 의미가 없습니다.

"... 결정론과 확률 론적 가치 함수는 같아야한다 ..."는 옳지 않다. 의 값은 제한에 중요합니다. $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- 엔 + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

만약 , 다음 아마도 경제적으로 합당한 및 , 결정적 문제가 잘못 제기 될 수있는 경우. 사실 확률 론적 함수는 매개 변수 제한이있는 경우에만 주어진 형태를 취합니다. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

오른쪽에서 이토 항 를 제외 $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

제한은 다음과 같이 쓸 수 있습니다

ρ + 엔 (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

오른쪽에, 우리는 시간 간 치환 항 의 탄력성 과 위험 회피 항 --left 있습니다. 제한 사항은 선택 하면 시간 기본 설정 및 드리프트 까지 서로 오프셋됩니다 . 따라서 값 함수는 무관 합니다. $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

값 함수가 무관 하다는 것은 제한의 아티팩트이며 CRRA 선택입니다 . 일반적으로 사실이 아닙니다. $\sigma$ $u$

— 남자 이름
소스