대한 직관적 인 설명

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Slutsky 행렬에 가격 벡터를 곱한 값에 왜 행렬이 없는지 직관적으로 설명 할 수 있습니까?

나는 이것이 사실이라는 것을 알고 있지만 그것이 왜 진실인지 이해하지 못한다. 누구든지 여기서 도울 수 있습니까?

microeconomics

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이것은 1 차 동종인 다변량 함수의 2 차 도함수 / 헤 시안 행렬의 일반적인 수학적 특성입니다.

지출 함수 는 가격면에서 1 차 균질하다. 왜? 모든 가격이 동일한 비율 (동일성의 수학적 속성을 확인하는 방법)로 변경 되면 상대 가격은 변하지 않습니다. 상대 가격이 변경되지 않는 경우, 해당 유틸리티를 달성하기 위해 최소 선정 된 보상 소비 번들의 양적 구성은 변경되지 않습니다 전혀 . 그런 다음 모든 가격이 동일한 비율로 상승했기 때문에 예산 점유율은 동일하게 유지되며 동일한 유틸리티를 달성하는 데 필요한 지출은 같은 비율로 증가합니다. $E$

이중성으로 인해 Hicksian 수요 벡터는 지출 함수의 기울기 입니다. $H = \nabla_p E$

Hicksian 수요 벡터는 요구되는 최소 비용 수량을 제공합니다. 지출 함수 중 하나의 정도의 동질성으로 인해, Hicksian 수요 벡터의 내부 곱에 가격 벡터를 곱한 값은 Expenditure 함수와 같습니다. 또한 직관적이어야합니다. 요구되는 각 수량에 지불해야하는 단가를 곱하고 이러한 제품을 합하면 주어진 유틸리티에 대한 최소 비용 번들을 얻기 위해 발생하는 총 지출을 얻습니다.

$E = H\cdot p$ $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

그리고 반드시

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

$k$ $k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

결과는 지출 함수 중 하나의 동질성에서 비롯됩니다. 지출 함수 중 하나의 동질성에 대한 직관과 유사하게 직관적 인 설명이 있습니까? 전자 는 후자에서 직접 나오기 때문에 "별도의"직관적 인 주장을하기가 어렵습니다. 비공식적으로 요구되는 보상 수량은 상대 가격이 동일하게 유지 될 때 가격 변동과 "독립적"인 (변동되지 않음) 것이라고 말할 수 있습니다. 그런 다음 기하학적 측면에서, 이는 요구 된 보상 수량의 변화율 벡터 (Slutsky 매트릭스의 각 행에 포함 된) 가 가격 벡터와 직교 함 을 의미합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

와. 이것은 환상적인 답변입니다.

— 123

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나는 이것을 당신이 설명 또는 증거로 간주할지 모르겠다.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{i} (p^{*} + δ) ≃ h_{i} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

$\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

다시 말해, 어떤 상품에 대한 Hicksian 수요는 상대 가격을 동일하게 유지하는 가격 변동에 반응하지 않기 때문에 이러한 가격 변동의 개별 영향 전체를 상품에 대해 살펴보면 0 변경

— 라마 잔
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$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— 사용자
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