다음 게임의 평형을 정의하고 특성화하십시오.

독점 기업과 소비자 간의 다음 게임을 고려하십시오. 소비자의 소득은 $ 1 $이며, 효용 $ u (c_1, c_2) = c_1 + c_2 $를 최대화하기 위해서는 기간 1과 기간 2 소비 사이에 그것을 배분해야합니다. 여기서 cct $는 소비자의 기간 t $ 소비입니다. 기간 2 가격은 외생 적으로 $ P $로 주어집니다. $ P $는 무작위이며 $ \ {\ bar {p}> \ underline {p} & gt; 0 $와 같은 확률로 \ underline {p} \} $에서 값을 취한다고 가정합니다. 회사는 $ P $를 알고 있고, 소비자는 확률 $ \ alpha $로 $ P $를 알고 있다는 것이 일반적인 지식입니다. 게임의 타이밍은 다음과 같습니다. 회사는 기간 1에서 이익을 최대화하기 위해 첫 번째 기간 가격 $ p $를 선택합니다. $ p $를 관찰 한 후 소비자는 소득을 $ c_1 $와 $ c_2 $ 사이에 할당하는 방법을 결정합니다.

1)이 게임의 평형을 정의하십시오.

2) 평형을 특성화하십시오.

나는 공식적으로 역동적 인 게임을 세우는 데 어려움을 겪고 있습니다. 따라서 누군가가 아래에 제시된 해결책을 확인할 수 있는지, 그리고 가장 중요한 것은 내가 제공하는 평형 (전략 집합, 전략, 최적 조건 등)의 정의가 올바른지, 왜 그렇지 않은가? 고맙습니다

해결책:

1) 평형의 정의

\ begin {방정식} \ begin {split} & mathbb {R} _ + \ text {1기에 회사가 선택한 가격} \\ & 0 \]의 \ & a_U \는 무형의 소비자가 기간 1에 할당 한 소득의 비율입니다. \\ & lt; 0,1 \ text \ in {a_I \}는 정보가있는 소비자가 1 기 기간 동안 배분하는 소득의 비율입니다. \\ & \ Theta = \ {I, U \} \ text {소비자의 유형 : 정보, 정보 없음} \\ & amp; S_I = \ {a : \ {\ underline {p}, \ bar {p} \} \ times \ mathbb {R} _ + \ [0,1] \} \ text { 소비자}\\ & amp; S_U = \ {a : \ mathbb {R} _ + \ ~ [0,1] \} \ text {미국 소비자의 전략 집합} \\ & amp; S_f = \ {회사의 전략 세트} \\ p {\ bar {p}, {p} \} \ \ mathbb {R} _ + \} \ text {\ bar {p} \ text {given} 두 번째 기간 가격이 \ bar {p}, \ text {given} p \\ 인 유형 U 소비자의 소비자는 \ mu_U (p) = Pr (P = \ bar {p} (P = \ bar {p} | p) \ text {: 두 번째 기간 가격은 \ bar {p}, \ text {given} p \\ \ end {split} \ end {방정식}

게임의 균형은 각 유형의 소비자와 독점 기업에 대한 전략의 세 가지 전략 인 믿음 $ \ mu와 함께 $ s ^ * = (a ^ * _ I, a ^ * _ U, p ^ *) $입니다. $ i $, $ s_i ^ * $는 순차적으로 합리적이며, 신념은 적용될 때마다 전략 프로파일과 Bayes 규칙에 의해 결정됩니다. \

특히 각 가격 $ p $에 대해 $ i \ in \ {U.I \} $ 유형의 소비자는 다음을 해결합니다.
\ begin {방정식} \ begin {split} (P)} \ mu_I (P) + a_i ^ * (p) = \ text {argmax} \ sum_p \ big [ (1- \ mu_I (P)) \ big] \ frac {a} {p} \ end {split} \ end {방정식}

또한 정보를 얻은 소비자의 경우, \ begin {방정식} \ begin {split}  & lt; \ mu_I (P) = Pr (P = \ bar {p} | p) = \ begin {cases} 1 & amp; \ text {if} P = \ bar {p} \\ 0 & amp; \ text {if} P = \ 밑줄 {p} \\ \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식}

소비자에게 최적의 전략과 $ P $, $ p ^ * (P) $가 독점 기업의 첫 번째 기간 이익을 최대화하는 경우 :

\ begin {방정식} \ begin {split} & lt; \ pi (P) ^ * = \ text {argmax} \ alpha [a ^ * _I (p) p] + (1- \ 알파) [a ^ * _ U (p) p] \\ \ end {split} \ end {방정식}

2) 평행 내피의 특징

기간 2에서 $ P $의 실현을 위해, 우리는 \ begin {방정식} \ begin {split} a_I (p) ^ * = \ begin {cases} 1 & amp; \ text {if} p & lt; 피\\ 0 & amp; \ text {if} p & gt; P \\ \ [0,1] 및 \ text {if} p = P \\ \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식}

\ begin {방정식} \ begin {split} a_U (p) ^ * = \ begin {cases} 1 & amp; \ text {if} p & lt; \ mu_U (p) \ bar {p} + (1- \ mu_U (p)) \ 밑줄 {p} \\ 0 & amp; \ text {if} p & gt; \ mu_U (p) \ bar {p} + (1- \ mu_U (p)) \ 밑줄 {p} \\ \ bar {p} + (1- \ mu_U (p)) \ 밑줄 {p} \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식}

독점 기업의 최적 전략을 정의하려면 다음과 같은 경우를 고려하십시오. $ \ pi $는 독점 기업의 최초 기간 이익을 나타냅니다.

a) $ p = \ bar {p}, \ for P $, 베이 즈 규칙 $ \ mu_U (p) = 1 / 2 $; 또한 평형 경로 $ \ mu_U (p) = 1/2, \ forall p \ neq \ bar {p} $; 독점 기업 이익은 다음과 같이 주어진다.

\ begin {방정식} \ begin {split} \ pi (P) = \ begin {cases} \ alpha \ bar {p} a_I ^ * (\ bar {p}) & amp; \ text {if} P = \ bar {p} \\ 0 & amp; \ text {if} P = \ 밑줄 {p} \\ \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식} 이것은 균형 전략이 아니다. 왜냐하면 $ \ hat {p} = 1/2 \ bar {p} + 1 / 2를 설정함으로써 독점 기업이 $ P = \ underline {p} \ underline {p} $; 이것은 그에게 $ \ alpha a_U ^ * (\ hat {p})> 0 $의 이익을 줄 것입니다. 비슷하게 균형 경로로부터 벗어난 것이 무엇이든 상관없이, 독점 기업에게는 항상 유리한 편향이 있음을 증명하는 것이 가능하다. \

b) $ p = \ underline {p}, \ for P $, $ \ mu_U (p) = 1 / 2 $를 가정하고 또한 $ \ mu (p) = 1/2, \ forall p \ neq \ underline {p} $; 독점 기업 이익은 다음과 같이 주어진다.

\ begin {방정식} \ begin {split} \ pi (P) = \ begin {cases} \ 밑줄 {p} & amp; \ text {if} P = \ bar {p} \\ \ 밑줄 {p} (\ 밑줄 {p}) + (1- \ 알파)) & amp; \ text {if} P = \ 밑줄 {p} \\ \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식} $ \ exists \ epsilon & gt;이 존재하기 때문에 이것은 균형 전략이 아닙니다. 0 $는 독점 기업이 $ P = \ bar {p} $ 일 때 이익을 상실하고 증가시킬 것이다. 예를 들어 $ \ hat {p} = 1 / 2 \ bar {p} + 1 / 2 \ underline {p} - \ 엡실론 & gt; \ underline {p} $을 설정하면 $ \ hat {p} } & gt; \ underline {p} $.

c) $ p = \ 밑줄 {p}, \ text {if} P = \ 밑줄 {p} $, $ p = \ bar {p}, \ text {if} P = \ bar {p} $ 및 $ \ mu_U (p) = 1, \ forall p & gt; \ underline {p} $ then

\ begin {방정식} \ begin {split} \ pi_1 ^ * (P) = \ begin {cases} \ bar {p} \ bar {p} (\ bar {p}) + \ 1- {alpha} \\ \ underline {p} (\ underline {p}) \ p {\ underline {p} \\ \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식} 이것은 $ a_I ^ * (\ bar {p}) = a_U ^ * (\ bar {p}) = 1 $ 인 한 평형을 나타냅니다. 그렇지 않으면 독점자는 가격 $ \ hat {p} & lt; \ bar {p} - \ ε {\ bar {p}) + (1- \ alpha) a_U ^ * (\ bar {p} }) $

d) $ p = 1 / 2 \ bar {p} + 1 / 2 \ 밑줄 {p}, $ P에 대해 $ \ mu_U (p) = 1 / 2 $를 가정하고 또한 평형 경로 $ \ mu (p) = 1 / 2, \ p에 대한 \ neq (1/2 \ bar {p} + 1/2 \ 밑줄 {p}) $ \ begin {방정식} \ begin {split} \ pi_2 ^ * (P) = \ begin {cases} P = \ bar {p}) {\} {\} {\} { \\ P = \ 밑줄 {p} \ ({\} {\} {\} { \ \ end {cases} \\ \ end {split} \ end {방정식} 이는 수익성있는 편차가없는 한 평형 전략입니다. 독점 기업이 $ P = \ bar {p} $ 일 때 독점 기업이 $ p = \ bar {p} $를 설정할 수 있고 그 이익이 $ \ alpha \ bar {P} a_I ^ * (\ bar {p}) $이다. 또한, $ P = \ underline {p} $ 일 때 독점 기업은 $ p = \ underline {p} $를 설정하고 $ \ underline {p} $의 이익을 얻을 수 있습니다. 따라서 우리는 편차가 발생하지 않도록해야합니다.

e)?

그러므로 우리는 다음 (퍼펙트 베이지안) 평형을 특성화 할 수 있습니다 :

1ST 평형) \ begin {방정식} \ begin {split} & a_I (p) ^ * = 1, a_U (p) ^ * = 1 \\ & amp; \ pi_1 ^ * (P) \ text {위와 같이 정의} \\ & amp; \ mu_U (p) = 1 \ text {평형 경로의 "on과 off"} \\ & \ text {(즉, 독점 기업이 벗어나는 경우) \\ 평형 전략의 \ text {\ mu_U (p) = 1 \ text {여전히 보유} \\ \ end {split} \ end {방정식}

평지의 세트) \ begin {방정식} \ begin {split} [0,1]의 a_U (p) ^ * \ 1, a_U (p) ^ * \ & amp; \ pi_2 ^ * (P) \ text {위와 같이 정의} \\ & amp; \ mu_U (p) = 1 / 2 \ text {평형 경로의 "on and off"} \\ & \ text {(즉, 독점 기업이 벗어나는 경우) \\ 평형 전략의 \ text {\ mu_U (p) = 1 / 2 \ text {여전히 보유} \\ & amp; \ text {또한 다음 두 조건이 유지됩니다.} \\ & \ alpha \ bar {P} a_I ^ * (\ bar {p}) & lt; (\ bar {p}) + (1- \ alpha)) \\ (\ bar {p} & 밑줄 {p} & lt; (\ bar {p}) +0) \\ (\ bar {p} \ end {split} \ end {방정식}

힌트: 두 기간간에 할인 요소가 없다는 점에 유의하십시오. 두 기간 사이의 소비는 완벽한 대용품입니다. 소비자라면 가능한 한 낮은 가격대에서 모든 소득을 씁니다.

따라서 회사가 고려하는 두 가지 사례가 있습니다. 소비자가 $ \ {\ bar {p}, \ underline {p} \} $의 확률이 $ 1 - \ alpha $ 인 공간을 알지 못하거나 소비자가 확률 $ \ 알파.

소비자의 경우 "모른다" $ P $이면,이 질문의 나머지 부분은 소비자가 두 번째 기간에 $ P $의 분포를 알고 있지만 $ P $ 자체의 값을 아는 지 여부에 달려 있습니다. 이는이 질문에 대해 나에게 불분명합니다. 소비자가 $ P $ (내가 가정하고있는 것)의 분배를 알고 있지만 값이 아니라면, $ \ frac {w} {p_1} & lt; \ wrac {w} {\ bar {p}}) \ $ frac {1} {2} (\ frac {w} {\ bar {p}}) $ 다음 기간은 더 낮을 것이기 때문에, 그 기간에있는 모든 소득을 지출하는 것은 예상 된 효용을 최대화 할 것입니다. 단순히 $ p_1 & gt; \ frac {1} {2} (\ bar {p} + \ 밑줄 {p}) $이 조건입니다.

그런 다음 소비자가 $ P $의 가치와 다음 기간의 가치를 알고 있다면 어떻게되는지 생각해보십시오. 마지막으로, 회사는 이것을 알고 있고 $ \ alpha $의 가중치는 $ p_1 \ in \ mathbb {R} $와 관련하여 예상 수익을 극대화하려고 노력할 것입니다 (우리는 비용 함수가 없으므로 예상 수익이 없습니다).

$ (p_1) = p_1E (c_1) + E (P) E (c_2) $$

편집하다: 아, 특히 벨맨을 사용하도록 특별히 지시를 받았다면, 행운을 빈다. 당신이 옳은 길을 걷고있는 것처럼 보입니다.