자산을 상태 변수로 사용하여 동적 최적화 : 자본 이득 및 손실 해석

주어진 해밀턴의 형태는 다음과 같습니다. \ begin {방정식} (w + ra_ {t} -c_ {t}), H_ {t} = ln (c_ {t}) \ dot {} e_ { \ end {방정식} 시간 t (제어 변수)에서 $ c_ {t} $ 소비, $ \ rho & gt; 0 $ 시간 선호도, $ w $ 상수 (예를 들어 임금), t 기간에 보유 된 $ a $ 자산 (이것은 다이나믹스가 $ \ frac {da_ {t}} {dt} = \ dot {a_ {t}} = w + ra_ {t} -c_ {t}) $ 및 $ r $ 자산 수익률.

첫 번째 주문 조건은 다음과 같습니다.

$ \ frac {\ partial {\ partial} {0}

$ \ frac {\ partial} \ {partial} {\ partial {\ partial} {\ partial} {\ partial {\ partial} {t}} + \ dot {\ lambda_ {t}} = 0 $.

우리는 t에서 자산의 한계 수익으로, $ \ dot {\ lambda} $는 자본 이득으로 해석 할 수 있다고 배웠다. 함께 그들은 완전한 복귀입니다. 수평축에 $ a_ {t} $와 수직축에 $ H_ {t} $가있는 첨부 된 스케치는 $ H_ {t} $가 최대치를 갖는 오목한 함수임을 보여줍니다.

소비를위한 성장 경로는 $ \ frac {\ dot {c_ {t}} {c} {\ lambda_ {t}} {\ lambda_ {t}} - \ frac {\ dot { ρ $이므로 소비는 시간이 지남에 따라 증가한다. 즉, 상대 자본 손실이 시간을 초과하면 소비가 증가한다 우선권. 따라서 최적화 에이전트는 자본 손실이 충분히 클 때 소비를 늘려야합니다.

내 질문은 다음과 같습니다.

• 왜 $ \ dot {\ lambda {to}} $를 자본 이득으로 해석 할 수 있습니까?

• 자본 이득이나 손실 ($ \ dot {\ lambda_ {t}} \ neq 0 $)이 있다면, 어떻게 직관적으로 그리고 / 또는 그래픽으로 ($ (a_ {t}, H_ {t}) $ - 다이어그램 ) 효과 최적화?

• 자본 손실의 경우에만 소비가 증가하는 이유는 무엇입니까? 직관적 인 설명이 있습니까?

첫째, $ \ lambda $는 정의상 부 / 자본의 그림자 가격이다. 추가 자본의 한 단위를 늘릴 때의 가격입니다. $ \ lambda $는 제약 조건이 완화 될 때 유틸리티 함수의 최대 값이 증가하는 비율을 측정합니다. 따라서 $ \ lambda $의 동적 방정식은이 변수의 변화입니다. 직관적으로 자본 이득입니다.

$ (a_ {t}, H_ {t}) $ 다이어그램은 무엇을 의미합니까? $ (a_ {t}, c_ {t}) $의 위상 다이어그램을 의미합니까?

마지막 질문에 대해, 당신은 자본 이득 (cf $ \ dot {a} $)을 희생해서 소비가 증가한다는 것을 당신의 제약에서 깨달을 수 있습니다. 따라서 이것은 축적 대신 소비 단위가 자본의 다소 손실을 의미합니다 축적.