"가정 용품"의 공정하고 효율적인 할당

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가정용 가구 (x)와 전기 장비 (y)와 같은 두 가지 상품으로 교환 경제를 고려하십시오. 이 상품에 대한 흥미로운 점은 가족이 번들을 소유 할 때 모든 가족 구성원이 동일한 번들을 즐길 수 있다는 것입니다 ( "클럽 상품"과 같지만 가족에게만 해당).

두 가족이 있습니다. 각 가족마다 번들보다 선호도가 다른 멤버가 다릅니다. 모든 환경 설정이 단조 증가하고 엄격하게 볼록하다고 가정하십시오.

할당 다발 한 쌍이다 패밀리 1 대 가족 2. $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

다음과 같은 경우 할당을 envy-free 라고 합니다.

가족 1의 모든 구성원은 이 만큼 좋다고 . $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
가족 2의 모든 구성원은 가 만큼 좋다고 생각 합니다. $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

모든 가족 구성원이 약하게 선호하고 한 가족의 구성원 중 하나 이상이 엄격하게 선호하도록 가족에 다른 번들 할당이없는 경우 할당을 파레토 효율 이라고 합니다.

어떤 조건에서 파레토 효율적인 부러움이없는 할당이 존재합니까?

각 가족에 단일 구성원이있는 경우 파레토 효율적인 부러움이없는 할당이 존재합니다. 이것은 Varian 의 유명한 정리입니다 . 이 정리는 개인에서 가족으로 일반화 되었습니까?

— 엘렐 시갈-할레 비
소스

부러움이없는 것에 대한 매우 강력한 정의. 우선 선호도를 먼저 집계 한 다음 집계 된 선호도에 따라 부러움이 없다고 주장 할 것입니다.

— Giskard

실제로 @denesp, 나는 사회 복지 기능을 사용하는 것과 같은 선호를 집계하는 것에 대해 생각했습니다. 그러나 그러한 기능의 모든 선택은 임의적이며 충분히 동기 부여되지 않습니다.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi 우리는 또한 각 가족 구성원의 유용성이 가족이 받는 와 의 양이 약하게 증가하고 있다고 가정하겠습니까? P : 각 가족을 위해, 그 가족의 각 구성원은 동일한 환경 설정 ...이, 그 가정 : 그렇다면, 나는 파레토 효율, 선망없는 할당이 존재하면 이는 아래에 매우 불만족스러운 조건이

x

$x$

y

$y$

— 셰인

@Shane 약한 단 조성은 합리적인 가정처럼 보입니다. 각 가족에서 모든 구성원이 동일한 환경 설정을 갖는 경우 각 가족은 실제로 단일 에이전트와 같으므로 표준 설정으로 돌아갑니다.

— Erel Segal-Halevi

경우에 대한 어떤 곳 및 ? 단조 로움이 약하다고 가정하면 파레토이고 부러워하지 않아야합니다. 거기에서 약간의 엡실론 변경을 할 수 있을까요?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune 기병대

2

지금은 레이블 변경의 동등성에 대해 확신 할 수 없으므로이 anwer의 유용성에 대해서는 아래 설명을 참조하십시오.

이것은 답변의 시작이며 존재를 보장하기 위해 필요한 가정이 얼마나 강력해야 하는지를 보여 주려는 시도입니다.

문제는 동일하지만 조금 더 다루기 쉬운 문제로 변환 해 봅시다. 가족에 대한 색인을 생성하는 대신 에이전트 (가족의 구성원)에 대한 색인을 생성하십시오. 이 레이블의 핵심은 패밀리가 제한 조건으로 작성 될 수 있음을 이해하는 것입니다. 에이전트 및 가 동일한 패밀리에 속하는 경우 및 입니다. $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

이제 우리는 개별 에이전트 (가족이 아님)가 있지만 이러한 가족적 제약으로 표준 환경으로 돌아 왔습니다. 바리 안 정리의 증거를 상기시켜보십시오. 그것은 동등한 소득에서 경쟁적 균형의 존재를 사용합니다. 이러한 맥락에서, 우리는 가족적 제약이 충족 된 동등한 소득으로부터 경쟁적 균형의 존재가 필요하다. 이것은 매우 어려울 것입니다. 예를 들어, 와 가 패밀리에 있고 여기서 은 작습니다. 이러한 환경 설정은 단조롭고 볼록합니다. 기본적으로 한 가족이 관심을 갖고 다른 가족이 관심을 갖습니다. $i$ $j$

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$ . 두 에이전트 각각이 자신의 유틸리티를 최대화하기 위해 와 를 구매 하는 경우 경쟁 균형에서 또는 를 기대하지 않습니다 ( 부록 부록 참조 ).

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

그렇기 때문에 가족 내에서 선호도 유사성에 대해 약간의 가정이 필요합니다 (적어도 Varian의 증거 버전을 사용하려면). 내 생각에 가족 구성원 사이에 선호도에 약간의 차이가있는 경우 동일한 할당을 선택하는 CEEI가없는 경우 주변에서 예를 만들 수 있습니다. 그리고 최소한 Varian의 증거를 사용할 수 없습니다.

두 가지 질문 :

문제에 대한 나의 개혁이 공식적으로 당신과 동등하다는 것에 동의하십니까?
내가 반례로 무효화하려고 시도 할 수있는 가정 내 선호도 동질성을 가정하는 것보다 더 약한 가정을 생각할 수 있습니까?

부록 : 경쟁적 균형에서 각 대리인의 한계 대체율 (MRS)은 가격 비율과 같다는 점을 기억하십시오. 여기서 에이전트는 MRS가 일정하고 서로 다르기 때문에 MRS와 가격 비율이 같은 경쟁 평형이 존재할 수 없습니다. 각 에이전트에 MRS가 다른 경우, 평형 가격 비율에서 동일 할 수 있습니다. 아마도 당신은 가족 취향의 지역적 동질성의 개념으로 벗어날 수 있습니다. 그러나 경쟁 평형에서 지역적으로 균질해야합니다. 이것은 정확히 당신이 증명하려고하는 것이므로 약간 순환 적입니다.

중요 사항 : 앞에서 언급 한 바와 같이, 나는 존재를 증명하는 유일한 방법은 CEEI를 통해 Varian이 그 방법을 수행 한 것이라고 가정합니다. 이러한 문제를 다루는 다른 증명 기술이있을 수 있지만 그렇지 않은 것 같습니다.

CEEI를 넘어서 : OP가 의견에서 지적한 바와 같이, Varian처럼 CEEI를 통해 PEEF의 존재를 증명하는 것은 다소 제한적입니다. 내가 직접 PEEFs의 존재를 증명에 대해 할 말이 많지 않지만, 다음은 명백하다 : 어떤 들어, 파레토 효율성 조건을 만족하는 모든 할당 (순간에 대한 질투 - 여수를 무시) 같은 그 , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ 이것이 사실이 아니면 파레토 개선이있을 것입니다. 경쟁적 균형은 본질적으로 가격 비율을 통해 MRS와 동일하지만 파레토 효율적인 할당을 찾기 위해서는 이러한 MRS를 동일시해야합니다. 나는 가족적 제약이 이것을 매우 어렵게 할 것이라고 생각한다. 그러한 제약을 만족시키는 파레토 효율적인 평형이 존재하지 않는 환경과 가족적 제약을 생각해내는 것은 어렵지 않다. 어쨌든 이것은 대답을 향한 또 다른 부분 단계 일 수 있습니다. 부러움을 잊어 버려라. 먼저, 가족적 제약을 만족시키는 파레토 효율적인 할당의 존재를 보장하는 선호 (그리고 아마도 가족적 제약)에 대한 가정을 생각해 보자. 그런 다음 질투에 대해 걱정하십시오.

— 셰인
소스

1

가족 제약이있는 CEEI가 존재하지 않는다는 귀하의 직감을 공유합니다. 그러나 CEEI 할당보다 PEEF 할당이 더 많습니다. 많은 경우에, CEEI는 본질적으로 고유하지만 많은 다른 PEEF가 있습니다. 예를 들어 (가족 제약 조건없이) 및 하면 총 기부금은 (4,4)입니다. 유일한 CEEI 할당은 [(4,0); (0,4)]. 그러나 PEEF 할당 범위는 [(3,0); (1,4)] 내지 [(4,1); (0,3)]. CEEI는 해당 범위의 단일 지점입니다.

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

— Erel Segal-Halevi

1

Varian의 원래 논문에서 발견했습니다 : sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 CEEE에 의존하지 않고 CEEI가 존재하지 않는 상황에서도 유효합니다. 볼록한). 지금까지 이러한 증명을 이해하지 못했지만 관련성이있을 수 있습니다.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi 귀하의 예에서, 두 상담원이 두 상품의 양을 엄격하게 양으로 얻는 할당은 파레토가 비효율적입니까? 나는 당신의 범위를 이해하기 위해 고심하고 있습니다. 더 일반적으로, 나는 당신에 동의합니다. CEEE없이 PEEF를 직접 증명하는 추가 섹션을 추가했습니다. 나는 당신이 그것을 특히 만족스럽게 생각하지 않을 것이라고 생각하지만, 그것은 지금 나에게 분명한 모든 것입니다.

— Shane

1

네 말이 맞아 이 예에서 PEEF 할당 범위는 여기서 및 여기서

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel 시걸-Halevi

1

흠 ... 모든 내 색인의도에 개인 이상 . "동일한 가족이든 아니든, 두 사람을 데리고 가십시오 ..."하지만 지금 나는이 라벨이 실제로 작동하는지 궁금합니다. 왜냐하면 와 가 같은 가족에서 이면 2가 아닌 좋은 1 단위 만 사용합니다 . 이제 레이블 재 지정의 동등성에 의문을 제기합니다. 가족은 단순한 구속 조건이 아니라 (사람들이 동일한 상품을 공유해야한다는 점에서), 상품이 가족 내에서 공개 / 공유된다는 이점도 있습니다.

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$

— Shane

2

패밀리 U에 멤버가 있고 패밀리 V에 멤버 가 가정 합니다. 부재의 유틸리티 함수 U가 가족들 : 모든 곳 들 모두에 대한 양성 , $n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

및 구성원의 효용 함수 패밀리 V의은 : 모든 곳 들 모두 양수 . $j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

또한 라고 가정 . $\min_i a_i \geq \max_j b_j$

와 의 총 엔 다우먼트 벡터 가 라고 가정합니다 . $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

어떤 옵션 정의 . $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

확인하는 경우 후 과 는 파레토 효율적인 부러워 할당이며, 반면에 이면 및 는 파레토 효율적으로 부러워하지 않습니다 배당. $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— 아 미트
소스

요구 사항 의 의미는 무엇입니까 ?

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

— Erel Segal-Halevi

가족 U의 모든 구성원은 가족 M의 모든 구성원보다 MRS가 더 높습니다.

— Amit

나는 두 가족과 선형 환경 설정에 대해이 요구 사항을 제거 할 수 있다고 생각합니다. 아직 세부 사항에 대해 작업해야합니다.

— Erel Segal-Halevi

할당이 부러워지기를 원하기 때문에이 요구 사항을 제거하는 것이 어려울 것이라고 생각합니다. 여하튼 긴장이 풀리더라도 조건이 깔끔하게 나타나지 않을 수 있습니다. 그러나이 결과는 더 많은 종류의 유틸리티 함수에 적용됩니다. 다른 유형의 환경 설정을 포함하도록 결과를 확장하는 것이 좋습니다. 예를 들어, Cobb Douglas 환경 설정에서 해당 버전을 증명할 수도 있습니다.

— Amit

1

모든 가족의 모든 대리인의 선호가 단조와 볼록한 것 (소비자 이론의 표준 가정)이라고 가정하십시오.

그런 다음 두 가족이있을 때 파레토 효율적인 부러움이없는 할당이 항상 존재합니다. 그러나 세 개 이상의 가족이있을 때는 존재하지 않을 수 있습니다.

이 작업 논문 에서 증명과 예제를 찾을 수 있습니다 .

— 엘렐 시갈-할레 비
소스

-2

문제의 진술은 X와 Y가 대체물이 될 수 없음을 의미하는 것으로 보인다 (전기 장치는 가정용 가구로 사용될 수 없음).

다음과 같은 경우 파레토 효율적인 부러움이없는 할당이 존재합니다.

적어도 하나의 에이전트의 경우, 적어도 일부 상품은 부정적인 유용성을 갖거나 보충 물이며, 에이전트는 소비하지 않도록 선택할 수 있습니다.

예:

상담원 A와 B는 가족 F1에 있습니다.
에이전트 A의 유틸리티 기능은 다음과 같습니다.

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

에이전트 B의 유틸리티 기능은 다음과 같습니다.

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

에이전트 C와 D는 가족 2입니다.
에이전트 C에는 다음과 같은 유틸리티 기능이 있습니다.

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

에이전트 D에는 다음과 같은 유틸리티 기능이 있습니다.

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

해결책:

F1은 (X1, Y1)을 선호하고 상담원 A는 상품을 소비하지 않기로 선택합니다.

F2는 (X2, Y2)와 요원 C가 어떤 재화를 소비하지 않도록 선택합니다.

이것들은 실제로 의미 론적 주장이며 공유 된 선호를 가정하지 않으면 의미있는 평형이 없습니다.

— DJ 심즈
소스

당신은 아마도 당신의 진술을 더 정확하게 만들 수 있습니까? 예를 들어 "음수 보완"이란 무엇입니까? 그리고 완전한 증거가 아닌 경우, 주장을 뒷받침하는 휴리스틱 주장을 적어도 제시하여 귀하의 추론을 이해할 수 있도록하십시오.

— Shane

요원 A와 B와 같은 유틸리티 기능에서 다른 가족의 소비에 관심이 있습니까? 그리고 나는 "소비하지 않기로 선택"이라는 생각을 따르지 않습니다. 가족 1의 구성원이 어느 곳에서나 소비하도록 선택할 수 있다고 가정 합니까?

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

— Shane

답변을 수정했습니다. 두 번째 요점은 맞습니다. 상담원이 소비해야하는 경우 인수가 적용되지 않습니다.

— DJ Sims