시간 영역에서 음수 빈도를 어떻게 시각화합니까?

디지털 신호 처리 분야에서 사람들이 단어를 사용하는 것을 보았습니다.

복잡한 신호 및 음의 주파수. 예를 들어. FFT 스펙트럼에서.

시간 영역에서 실제로 의미가 있거나 수학 대칭의 일부일 뿐입니 까?

시간 영역에서 음수 빈도를 어떻게 시각화합니까?

FFT는 신호를 실수와 허수로 2 차원으로 처리하여 작동합니다. 단위 원을 기억 하십니까? 양의 주파수는 페이저가 시계 반대 방향으로 회전 할 때, 음의 주파수는 페이저가 시계 방향으로 회전 할 때입니다.

신호의 허수 부를 버리면 양의 주파수와 음의 주파수가 구분되지 않습니다.

예를 들어 ( source ) :

신호의 허수 부분을 플롯하면 실제 부분과 관련하여 위상이 다른 정현파를 얻을 수 있습니다. 페이저가 다른 방향으로 회전하는 경우 상단 신호가 정확히 동일하지만 가상 부분과 실제 부분의 위상 관계가 어떻게 다른지 확인하십시오. 신호의 허수 부를 버림으로써 주파수가 양인지 음인지 알 수있는 방법이 없습니다.

시간 영역에서 음의 주파수는 위상 반전으로 표시됩니다.

코사인 파의 경우 어쨌든 제로 시간에 대칭이기 때문에 아무런 차이가 없습니다. 1에서 시작하여 어느 방향 으로든 0으로 떨어집니다.

$$cos(t) = cos(-t)$$

그러나 사인파는 0의 값으로 시작하여 양의 방향으로 상승하지만 음의 방향으로 떨어집니다.

$$sin(t) = -sin(-t)$$

약간 다른 접근법이 있습니다. 의 푸리에 주파수로 정확히 변환 한 정기적있는 기능 보자 .$-1$

이는 함수 대 t ∈ [ 0 , 1 ] .$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$$t \in [0,1]$

이 함수는 함수 와 실수 부분이 같습니다 . 후자의 함수는 주파수 1 인 단일 주파수 성분 만 갖습니다 .$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

실제 신호 만 고려할 때 이러한 음의 주파수가 나타나는 이유는 함수 공간에서 단위 원의 동작에 대한 복잡한 고유 값을보다 쉽게 ​​설명 할 수 있기 때문입니다.

편집 : 우리가 정말하고 싶다고 어떤 주파수 분석을 수행하기 위해, 마지막 코멘트에 확장하기가에 실제 값 함수의 공간을 차지하다 , F ( [ 0 , 1 ] , R은 ) 및 수있을 표현하는 함수 F ∈ F ( [ 0 , 1 ] , R ) 의 일부 자연 기초 환산 F를 ( [ 0 , 1 ] , R$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$. 우리는 우리가 우리의 기간이 시작 많은 경우 정말하지 않는 것에 동의합니다 으로 (1) 또는 (1) / 2 로 3 / 2 우리가 정말 원하는 것, 그래서 그 잘 시프트 연산자에 대한이 기준으로 동작합니다 F ( X ) ↦ F ( a + x ) .$0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$

문제는 적절한 형용사와 함께, 는 변속과 관련하여 잘 동작하는 기능의 직접적인 합이 아닙니다. 이것은 시프트 연산자와 관련하여 잘 동작하는 2 차원 벡터 공간의 (완료된) 직접 합입니다. 이는 맵 f ( x ) ↦ f ( a + x ) 를 나타내는 행렬에 고유 값이 복잡하기 때문입니다. 이러한 행렬은 상황을 복잡하게하면 (적절한 기준으로) 대각선이됩니다. 그래서 우리는 F ( [ 0 , 1 ]를 공부합니다 $F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$ 대신. 복소수를 소개하는 데는 불리한 점이 있습니다-음수 개념을 얻습니다.$F([0,1], \mathbb{C})$

이것은 모두 약간 추상적이지만 내가 이야기하고있는 것을 구체적으로 보려면 내가 좋아하는 두 가지 기능을 고려하십시오 : sin(2πt)=

$$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$

1 만큼의 이동을 고려하십시오 ,s(f(x))=f(x+$\frac{1}{4}$. s(cos(2πt))=−sin(2πt)s(sin(2πt))=cos(2πt)cos(2πt)및sin(2π) 의 실제 벡터 공간 스팬t)는s에의해 보존되는 함수의 2 차원 벡터 공간입니다.$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$

$$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos(2 \pi t)$$
$\cos(2 \pi t)$$\sin(2 \pi t)$$s$. 우리는 볼 수 있습니다 , 그래서 s는 고유 특징을 가진 ± $s^2 = -1$$s$$\pm \mathrm{i}$

이 2 차원 함수 공간은 우리가 그것을 복잡하게하지 않으면 고유 공간으로 분해 될 수 없습니다 . 이 경우 고유 벡터는 e 2 π i t 및 e - 2 π i t 입니다.$s$$e^{2\pi \mathrm{i} t}$$e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$

요약하자면, 우리는 두 개의 양의 주파수로 시작했지만 의 동작을 대각선으로하기 위해 음의 주파수 함수 e - 2 π i t 를 추가해야했습니다 .$s$$e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$

$\omega_0$

$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$

$\omega=\omega_0$$\omega=-\omega_0$

$x(t)$$\omega_c>\omega_0$

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t-\sin(\omega_c-\omega_0)t]$$

$-\omega_0$$\omega_c$$\omega=\omega_c-\omega_0$$\omega=\omega_c+\omega_0$

" 시간 영역에서 음의 주파수를 어떻게 시각화합니까? "

나는이 질문을 다음과 같이 해석한다 : 실제로 부정적인 주파수가 존재 하는가?

이 해석이 정확하고 (질문의 핵심에 부합하는 경우) 제 대답은 간단합니다 : 아니오-존재하지 않습니다.

그것보다 더 ( "소수 적")- "주파수"는 물리량이 아니기 때문에 존재할 수 없습니다. 대신, 우리는 몇 가지 특정 속성을 가진 정현파를 가지고 있으며,이 속성들 중 초당주기 수입니다. 이것이 바로 우리가 "빈도"라고 부르는 것입니다. 이 숫자는 음수가 될 수 없습니다.

따라서, "음의 주파수"를 갖는 신호의 도입은 많은 이점을 가질 수 있지만, 수학적 표현 / 설명을 단순화 할 수있는 순수한 추상적이고 이론적 인 "도구"이다.