인덕턴스 (L)가 회전 제곱 (N²)에 비례하는 이유는 무엇입니까?

우리는 맥스웰 방정식 에서 시작합니다

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

우리 는 코어 의 평균 경로 ( ) 내부의 표면 ( )을 위해 양면의 표면 통합을 취 합니다.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

우리는 스트로크의 정리 를 사용하여 왼쪽을 다시 씁니다. 여기서 는 자속 와 같은 방향입니다 .$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(왼쪽의 적분 은 권선에 개의 다른 와이어 가 있기 때문에 결과 입니다.)$NI$$N$

이러한 종류의 코어 내부의 자기장 밀도는 균일 한 것으로 간주됩니다. 그래서 우리는 쓸 수 있습니다

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

여기서 는 코어의 평균 경로 길이입니다.$\ell_c$

코어 의 단면적을 사용하여 찾은 자속 밀도에서 자속을 찾을 수 있습니다 .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

정의에 따르면 인덕턴스는인가 된 전류 당 생성 된 자속의 양입니다.

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

따라서 시스템의 인덕턴스를

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

그러나 다른 모든 소스 ( 예 )는 다음과 같이 인덕터의 인덕턴스를 제공합니다

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

내가 파생 한 실수는 무엇입니까? 자세하게 설명하십시오.

위의 방정식으로 코어 플럭스를 계산하면 인덕턴스는 각 회전을 통해 모든 플럭스의 합을 취합니다. 각 턴을 통한 플럭스는 동일하고 코어 플럭스와 같습니다. 코어 플럭스는 N에 비례하고, 턴당 플럭스 합은 비례한다 .$N^2$

이 의존성을 표현하는 또 다른 방법은 말하기 사이의 자기 결합 때문입니다.

단일 턴 인덕터 (아래 왼쪽)를 생각하고, 단일 턴이 두 개의 병렬 와이어로 분리되어 매우 꽉 감겨져 사실상 동일한 공간 (바로 아래)을 차지한다고 상상해보십시오.

주어진인가 전압에 대해 2 개의 병렬 와이어는 각각 단일 턴 인덕터 전류의 절반을 차지하며 함께 단일 턴과 동일한 전류를 취합니다.

이 때문에 각각의 개별 병렬 와이어는 반드시 단일 와이어의 임피던스의 두 배를 가져야하며, 병렬로 배선 할 때 단일 와이어와 동일한 임피던스를 나타내야합니다. 지금까지는 요?

이제, 두 개의 와이어를 (마음의 눈으로) 재 배열하여 서로 직렬로 연결하십시오. 임피던스는 임피던스의 4 배로 변경됩니다.-

이는 인덕턴스가 두 배의 회전으로 4 배로 증가했으며이 예를 n 개의 턴으로 확장하는 것이 쉽지 않다는 것을 의미합니다.

내가 파생 한 실수는 무엇입니까? 자세하게 설명하십시오.

인덕턴스는

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$