AC의 진폭과 위상을 나타 내기 위해 복소수를 사용해야하는 이유

AC 회로에서 사인파가 극수의 복소수로 표시되는 이유는 무엇입니까? 나는 물리적 관점에서 왜 가상의 부분이 있는지 논리적으로 이해하지 못합니다. 순전히 수학적 관점에서 회로를 쉽게 분석 할 수 있습니까?

인용 : "순수하게 회로를 분석하는 것이 수학적 관점에서 보입니까?"

질문 의이 부분이 이미 충분히 대답되었는지 확실하지 않습니다. 따라서 : 예-정현파 신호를 설명하기 위해 복잡한 수학을 사용하는 것은 직접적인 물리적 관련성이 없습니다. 단지 "분석을 더 쉽게"만드는 것입니다.

예를 들어, 부스터 신호에 대한 오일러의 유명한 공식을 푸리에 계열에 도입하면 음의 주파수 (양의 주파수에서 양의 주파수)로 이어집니다. 따라서, 부정적인 주파수가 실제로 존재합니까? 내 대답은 아니오 야! 유용한 수학적 도구 일뿐입니다.

실제로 동기는 매우 간단합니다.

선형 회로를 가지고 있고 하나의 주파수로만 회로를 자극하면 어디에서나 볼 때마다 동일한 주파수, 측정하는 파의 진폭 및 위상 만 항상 찾을 수 있습니다.

그렇다면 주파수를 잊어 버리십시오. 회로 주변의 전압 및 / 또는 전류의 진폭과 위상을 추적하면 충분합니다. 하지만 어떻게 할 수 있습니까? 진폭과 위상을 추적 할 수있는 수학적 도구가 없습니까? 예, 벡터가 있습니다. 벡터는 진폭, 즉 길이, 위상, 즉 x 축으로 형성되는 각도, ccw 방향이 양수입니다.

이제 괜찮은 벡터가 멋지다고 반대 할 수는 있지만 더 멋지지 않습니까? 그리고 왜 가상의 단위를 사용해야합니까?

두 번째 질문에 대한 답은 쉽습니다. 벡터로 계산하는 것은 상당히 고통스럽고 표기법입니다.

$$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$$

그리고 그것은 또한 혼자입니다! 만약 우리가 의 다른 기초를 선택한다면 그것은 단지 표기법 문제 일뿐입니다 ... 그리고이 기초는 존재하지만 가상의 단위 가 필요합니다 . 이전 혼란은 훨씬 쉽지 않습니까? J2+3J+1+7, J=3+10$\mathbb{R}^2$$j$

$$2+3j+1+7j=3+10j$$

그러나 전압과 공통의 가상 벡터는 무엇입니까? 가우스 평면을 상상해보십시오. x 축은 실제 축이고 y 축은 가상입니다.

전압은 원점을 중심으로 한 벡터로 나타낼 수 있으며, 길이는 전압 값 과 같 으며 시작 각도는 위상과 같습니다. 이제 마술은 : 각속도 가 원하는 주파수와 일치하도록 벡터 회전을 시작합니다 :$\omega$

밤. 그것이 우리가 페이저 라고 부르는 것입니다. 그 작은 사람은 거친 회로에 대항하는 가장 강력한 무기입니다.

그렇다면 왜이 페이저는 특별합니까? 두 가지 실제 전압을 취 하면 합산하기 때문입니다. 해당 페이저를 합한 다음 실제 도메인으로 돌아 오면 결과는 같습니다 . 이것은 물론 마술이 아니며, cosinusoid와 복잡한 지수 사이의 수학 친화도에 달려 있습니다. 저를 믿거 나이 멋진 그림을 믿으십시오.

$$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$$

그리고 가장 좋은 점은 지금까지 연구 한 모든 실제 회로 분석이 위상 및 복잡한 임피던스로 계속 작동 한다는 것입니다 . 즉, 옴의 법칙은 위상 및 복잡한 임피던스로 유지되며 옴 및 키르히 호프의 법칙에 기반한 회로를 해결할 수있는 수많은 도구가 있기 때문에 여전히 유용합니다.

페이저는 도함수 / 통합을 취하는 것도 매우 쉽습니다. 아시다시피, 우리가 사인과 코사인을 모두 같은 주파수로 말하고 있기 때문에 위상 변이의 문제 일뿐입니다. 복잡한 지수 표현.

TL; DR : 정현파는 극면에서 회전 벡터로 표시되며 회전하고 사진을 찍는 동안 정지하는 것과 매우 유사합니다. 즉 위상과 진폭 관계를 계산합니다. Wikipedia 의 페이저 페이지를 확인하십시오 . 그리고 확인 이 너무 다른 더의 간결한 대답을.

주목해야 할 것은주기적인 신호 (실제로 적용되거나 정확하게 그렇지 않은 경우 임의의 정도에 적용되는 일부 기본 분석 제한이 있음)는 신호의주기.

이제 저항과 같은 직접 반응의 통치를 마치면 에너지를 저장하고 검색 할 수 있습니다. 코일은 자기 에너지를 저장합니다 (전압 및 전류는 점진적으로 만 시작되지만 전압이 끊어지면 계속 작동 함), 커패시터는 전기 에너지를 저장합니다 (전류 및 전압은 점진적으로 만 시작하지만 전류가 중단 될 때 계속 진행됨). 스프링은 점차적으로 충격을 힘으로 변환합니다.

많은 형태의 권력은 기본적으로 어떤 흥분 척도의 제곱입니다. 이제 동일한 인수의 사인과 코사인의 제곱의 합은 1이라는 것이 밝혀졌습니다. 상수. 따라서 당신은 사인과 코사인을 사용하여 주기적으로 에너지를 변환하는 것을 잘 설명하지 못합니다.

사인과 코사인을 사용하는 대수는 미약하다는 것이 밝혀졌습니다. 당신이 원하지 않는주기적인 신호의 에너지 형태를 나타내는 가상의 용어를 추가하고 마치고 난 후에 가상의 부분을 버린다면, 대수 조작은 실제 변수가 복잡해지면서 훨씬 더 간단 해집니다. .

전압 소스 가 인덕턴스 유도 코일과 직렬로 연결된 간단한 회로가 있다고 가정 . 그때,$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$$L$

$$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$$

$j\omega L$$v(t)$$v_o = Ve^{j\phi}$ i(t)ioejω$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$$i(t)$$i_o$$e^{j\omega t}$

나는 그것들이 순간, 진폭 및 위상에서 AC 신호를 나타내는 두 가지 정보이며 DC의 진폭이라는 것에 동의합니다.

정보를 조작해야하는 곳은 분석뿐 아니라 회로 설계도 필요합니다 . 부품에는 임피던스가 있으며 AC 신호에 영향을 미칩니다. 따라서 설계 할 때 특정 AC 특성을 가진 회로를 설계하려면 임피던스를 계산할 수 있어야합니다.

복소수는 AC 신호와 임피던스를 모두 표현하고 계산하는 데 편리합니다. 길이와 각도의 두 가지 차원을 통해 진폭과 위상을 함께 계산하고 일관성을 유지할 수 있습니다.