푸리에 시리즈의 기능은 무엇입니까?

푸리에 시리즈 란? 무엇을 위해 사용됩니까?

푸리에 시리즈 :

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

용어 는 상수이며 DC 레벨입니다. 또한 2로 나누지 않고 쓰여졌을 수도 있지만 이것이 관례입니다. 무한 합의 항은 동일한 주파수를 가진 가중 사인과 가중 코사인의 합입니다. 복잡한 Argand 평면에서 이것을 페이저로 그리면 결과는 다시 사인이지만 진폭이 다르고 위상이 바뀐 것을 알 수 있습니다. 따라서 방정식은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다. $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

따라서 우리는 기본 주파수 의 모든 여러 주파수의 사인의 합을 가지며 , 각각 고유 한 진폭과 위상을 갖습니다. $\omega_0$

푸리에는 모든 반복적 인 기능을 이런 식으로 설명 할 수 있음을 증명했습니다. 때때로 계열은 무한하며 때로는 한정된 수의 항이 있습니다. 때때로 항이 누락되어 진폭이 0임을 의미합니다.

가장 잘 알려진 푸리에 시리즈 중 하나는 구형파의 것입니다.

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

또는 확장 :

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

따라서 이것은 누락 된 용어가있는 시리즈입니다. 사각 파에는 고조파가 없습니다. 다음 이미지는 시간 도메인에서 어떻게 보이는지 보여줍니다.

상단 그림은 처음 두 항의 합을 보여주고, 세 번째 항과 맨 아래에 네 번째 항이 추가됩니다. 각각의 추가 된 항은 파형을 구형파에 더 가깝게 만들며, 완벽한 구형파를 얻으려면 시리즈의 한계를 무한대로 제한해야합니다.

때로는 기본 사인을보기가 어렵습니다. 예를 들어 3Hz 사인과 4Hz 사인의 합을 생각해보십시오. 결과 파형은 1 초마다 1Hz 씩 반복됩니다. 진폭이 0 인 경우에도 1Hz가 기본입니다. 이 시리즈는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

다음의 모든 용어는 진폭이 0입니다.

전압과 시간 그래프에서 합리적으로 생각하거나 그릴 수있는 모든 실현 가능한 아날로그 신호는 수학적인 용어로 다른 주파수의 무한 사인파 수의 합으로 표현 될 수 있습니다.

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

다른 신호의 값을 변경함으로써 구성된다 A, B, C등 및 f1, f2및 기타.

누군가 푸리에 (Fourier) 시리즈를 언급 할 때는 위와 같이 파형을 일련의 추가 연산으로 표현합니다.

실제로 모든 아날로그 신호는 모든 주파수에서 SOME 함량을 가지고 있습니다. 진폭이 0.1e-67이더라도 여전히 존재합니다. 이상적으로는 그렇지 않습니다. 순수한 구형파를 구성하면주기의 홀수 배수 인 주파수로만 구성됩니다. 따라서 1Hz 구형파는 1Hz 사인파 + 3Hz 사인파의 합입니다. 삼각파 및 램프와 같이 잘 알려진 다른 파형의 경우 사람들은 현재 주파수와 내용에 대해 계산을 수행했습니다.

푸리에 시리즈는 주기적 파형을 '고조파'정현파 파형의 (무한한) 합으로 표현하는 수단입니다.

또한 정현파 파형의 무한 합으로 제한된 (정밀한) 시간 간격으로 신호를 표현하는 데 사용됩니다.

본질적으로, 시간 영역의 신호 (즉, 시간의 함수로 표현 된 신호)와 주파수 영역의 등가 신호 (즉, 주파수의 함수로 표현 된 신호) 사이의 관계를 설정함으로써 푸리에 Series는 무선 전송 이론, 코딩 이론, 제어 이론, 양자 이론 및 기타 매우 유용한 공학 분야의 기초 인 신호 및 시스템의 고조파 분석을 가능하게합니다.

푸리에 (Fourier) 신호의 신호 표현은 처음에는 복잡한 표현과 '무한 합'을 수학적 도구로 사용하는 것이 더 복잡해 보이지만 엔지니어는 폐쇄 형 표현으로는 해결할 수없는 문제를 해결할 수 있습니다.

간단히 말해 주파수 및 위상의 변동으로 공간 및 / 또는 시간의 변동을 표현하는 것이 유용한 경우가 있습니다. 특히주기적인 변화에 적합합니다. 그러나 변동이 주기적이 아닌 경우에도 변동이 공간 및 / 또는 시간의 일부 간격으로 제한되는 경우 주파수의 해당 간격 (대역폭)으로 제한됩니다.

푸리에 시리즈의 적용은 통신 시스템의 채널 대역폭을 이해하고 이미지 압축 알고리즘을 개발하며 전력 분배 시스템의 신뢰성을 향상시키는 데 중요한 역할을했습니다.

위의 주석에 실용성을 추가하기 위해 FFT (고속 푸리에 변환) 및 DFT (이산 푸리에 변환)와 같은 알고리즘을 통해 푸리에 시간 영역 계열을 주파수 영역 구성 요소로 분해 할 수 있습니다. 알고리즘을 적용 할 수있는 중요한 실제 결과 중 하나는 R & D 및 실험실 테스트에서 노이즈 플로어 (예 : SNR 또는 Spurious Free Dynamic Range)에 대한 신호의 스펙트럼 순도를 측정하여 얼마나 순수하고 자주, 우리의 신호 내용은 왜곡되지 않습니다. 시간 도메인 출력 (DA 변환기가 처리하는 것과 같은)이있는 경우 시간 도메인 응답 만보고 이러한 값을 확인할 수 없으므로 시뮬레이션 측면에서 종종 DFT 모듈을 사용하여 변환합니다. 스펙트럼 (주파수) 도메인으로의 시간 도메인 신호. 실험실에서는 오실로스코프에서 스펙트럼 속성을 볼 수있는 툴이 필요합니다 (일반적으로 스펙트럼 분석기를 사용합니다). 이러한 툴의 핵심은 푸리에 분석 및 스펙트럼 분해 방법에 달려 있습니다. EE에서 푸리에 분석이 중요한 이유에 대한 실질적인 이유가 있습니다.