스텝 응답이 오버 슈트되지 않는 비인과적인 저역 통과 필터에 대한 가장 선명한 주파수 응답은 무엇입니까?

버터 워스, 베셀, 체비 쇼프 및 sinc 저역 통과 필터는 균일하게 감소하는 주파수 응답, 균일 한 위상 응답, 가파른 컷오프 또는 "벽돌 벽"응답 사이에 서로 다른 절충점이있는 다양한 경우에 사용됩니다. 어떤 경우에는 이러한 모든 필터가 스텝 응답을 오버 슈트 할 수 있다고 생각합니다. 즉, 임펄스 응답이 부정적인 위치에 있다는 것을 의미합니다.

임펄스 응답이 음의 값을 가질 수 없다는 제약이있는 필터에서 최적 주파수 응답은 무엇입니까, 또는 어떤 유형의 주파수 응답을 사용할 수 있습니까? 기본 RC 필터가 그렇게하기 때문에 로우 패스 필터 (low-pass filter)가 그러한 제약을 충족시키는 것이 가능하다 (그러한 필터의 응답은 약간 크래쉬 임). 최적의 임펄스 응답이 정규 분포 곡선 또는 다른 것입니까?

filter dsp

— 슈퍼 캣
소스

@supercat, 만약 당신이 디지털 필터링을 포함한다면, 오버 슈트없이 벽돌 벽이 어떻게 반응 할 수 있는지 놀랍습니다.

— Kortuk

@Kortuk : 정말요? 브릭 월 필터 방식의 구형파는 컷오프 주파수가 상승함에 따라 폭이 0에 가까워 지지만 진폭이 크지 않은 스파이크는 거의 없기 때문에 오버 슈트를 피하기 어렵다고 생각합니다. 좋은 참고 자료는 무엇입니까?

— supercat

질문에 "비인 과적"이라고 말하지만 모든 예는 인과 적입니다. 무슨 뜻인가요? 원인이 아닌 경우 전체 파형을 기록한 다음 필터를 기록에 적용해야합니다. (또는 아마도 플럭스 커패시터와 큰 전원의 사용)

— endolith

@endolith : 인과 관계가 필요하지 않다고 가정하면 최적의 필터는 무엇입니까?

— supercat

@Kortuk : 신호를 0으로 클리핑하면 필터링의 이점이 완전히 사라질 것입니다. 그리고 DSP에 게시하는 동안 너비 제약 조건에 따라 음이 아닌 임펄스 기능을 원하는대로 만들 수있는 오디오 필름 레코더 (실용적 측면이 아니라 지적 측면에서)가 궁금합니다.

— supercat

답변:

"오버 슈트하지 않은 필터"목록을 보도록하겠습니다. 이 부분적인 답변이 전혀 답이없는 것보다 낫기를 바랍니다. "오버 슈트하지 않는 필터"를 찾는 사람들이이 필터 목록을 유용하게 사용할 수 있기를 바랍니다. 이 필터 중 하나는 수학적으로 최적 인 필터를 찾지 못하더라도 응용 프로그램에서 적절하게 작동 할 수 있습니다.

1 차 및 2 차 LTI 원인 필터

1 차 필터 ( "RC 필터")의 스텝 응답은 결코 오버 슈트되지 않습니다.

2 차 필터 ( "바이 쿼드")의 스텝 응답은 절대 오버 슈트되지 않도록 설계 할 수 있습니다. 단계 입력에서 오버 슈트되지 않는이 2 차 필터 클래스를 설명하는 몇 가지 동등한 방법이 있습니다.

심각하게 댐핑되었거나 댐핑되었습니다.
댐핑되지 않았습니다.
감쇠비 (zeta)가 1 이상
품질 계수 (Q)는 1/2 이하
붕괴율 파라미터 (α)는 적어도 감쇠되지 않은 자연 각 주파수 (omega_0) 이상이다.

특히, 동일한 커패시터와 동일한 저항을 갖는 단일 이득 Sallen-Key 필터 토폴로지는 치명적으로 감쇠됩니다. Q = 1/2이므로 스텝 입력에서 오버 슈트되지 않습니다.

2 차 베셀 필터는 약간 댐핑되었습니다 : Q = 1 / sqrt (3)이므로 약간 오버 슈트됩니다.

2 차 버터 워스 필터는 Q = 1 / sqrt (2)보다 많이 감쇠되므로 오버 슈트가 더 큽니다.

인과적이고 오버 슈트하지 않는 모든 가능한 1 차 및 2 차 LTI 필터 중에서 "최고"(가장 엄격한) 주파수 응답을 갖는 필터는 "크게 감쇠 된"2 차 필터입니다.

고차 LTI 원인 필터

절대적으로 음이 아니고 따라서 스텝 입력에서 오버 슈트되지 않는 임펄스 응답을 갖는 가장 일반적으로 사용되는 고차 인과 필터는 "박스 카 필터"또는 " 이동 평균 필터 "라고도하는 "실행 평균 필터"입니다. ".

어떤 사람들은 하나의 박스 카 필터를 통해 데이터를 실행하고 해당 필터의 출력을 다른 박스 카 필터로 출력하는 것을 좋아합니다. 이러한 필터 몇 개를 사용한 후에는 가우시안 필터의 근사치가됩니다. (연쇄 필터가 많을수록 중앙 한계 정리로 인해 boxcar, 삼각형, 1 차 RC 또는 기타 필터로 시작하는 필터에 관계없이 최종 출력이 가우시안에 가까워집니다).

실제로 모든 윈도우 기능 에는 절대 음의 임펄스 응답이 있으므로 원칙적으로 스텝 입력에서 오버 슈트하지 않는 FIR 필터로 사용할 수 있습니다. 특히 Lanczos window 에 대해 좋은 소식을 들었습니다 .lancos window 는 sinc () 함수의 중심 (양수) 로브입니다 (그리고 그 로브 외부에서는 0입니다). 일부 펄스 성형 필터는 절대 음의 임펄스 응답을 가지므로 스텝 입력에서 절대로 오버 슈트되지 않는 필터로 사용할 수 있습니다.

어떤 필터가 귀하의 응용 분야에 가장 적합한 지 모르겠으며 수학적으로 최적의 필터가 어느 필터보다 약간 더 좋을 것으로 생각됩니다.

비선형 인과 필터

중앙값 필터는 스텝 함수에 입력 오버 슈트 결코 인기 비선형 필터이다.

편집 : LTI 비인 과적 필터

sech (t) = 2 / (e ^ (-t) + e ^ t) 함수는 자체 푸리에 변환이며 단계 입력.

(sinc (t / k)) ^ 2 임펄스 응답을 갖는 비인 과적 LTI 필터는 "abs (k) * triangle (k * w)"주파수 응답을 갖습니다. 단계 입력이 주어지면 많은 시간 영역 리플이 있지만 최종 설정 점을 초과하지 않습니다. 이 삼각형의 고주파 코너 위에는 완벽한 정지 대역 제거 (무한 감쇠)를 제공합니다. 따라서 정지 대역 영역에서는 가우시안 필터보다 주파수 응답이 더 좋습니다.

따라서 가우시안 필터가 "최적의 주파수 응답"을 제공한다고 의심합니다.

"오버 슈트하지 않는 모든 필터"세트에서 하나의 "최적 주파수 응답"이 하나도 없다고 생각합니다. 일부는 정지 대역 제거 성능이 더 우수하고 일부는 더 좁은 전이 대역 등이 있습니다.

— Davidcary
소스

답장을 보내 주셔서 감사합니다. 비선형 필터의 주파수 응답을 특성화하는 것은 어설픈 제안 일 수는 있지만 내 질문을 선형 필터로 제한하는 것은 무시했습니다. 언급했듯이, 박스 카 필터를 계단식으로 연결하면 가우시안에 접근합니다. 가우시안 필터에 오버 슈트없이 얻을 수있는 최적의 주파수 응답이 있는지 궁금합니다. 질문을 쓸 때, 나는 앨리어싱을 최소화하기 위해 카메라를 흐리게하거나 디스플레이 픽셀을 정의하는 것과 같이 정의 된 임펄스 응답 필터와 같은 것을 수행하는 다양한 아날로그 프로세스에 대해 생각하고있었습니다.

— supercat

각 픽셀이 중앙의 다양한 지점에서 다양한 양의 빛을 흡수하도록 카메라를 구성 할 수 있습니다. 이상적으로 카메라는 아래에 아무것도 흐리지 않고 Nyquist 위의 모든 것을 필터링하지만 실제로는 발생하지 않을 것입니다.

— supercat

LTI? 당신은 그것을 정의하지 않습니다. "선형 시간 불변"을 의미하는 것이 도움이 될 것입니다.

— 코너 울프

Q = 0.5가 비판적으로 감쇠됩니까? 특정 주문에 대해 치명적인 댐핑 된 여러 시스템이 있습니까? Q = 0.5 인 쿼드를 LR2 Linkwitz-Riley 필터 라고합니다 . 그러나 단계 응답에서 LR 필터의 고차 버전이 울리는 것처럼 보입니다.

— endolith

"캐스케이드 댐핑 된 필터는 다른 댐핑 된 필터를 발생시킵니다." 덤프 폴을 -1로 유지하면 항상 크리티컬 댐핑됩니까? (그리고 숫자가 증가함에 따라 가우시안 필터 응답에 접근합니까?)

— endolith

디지털 세계에서 사용되는 대부분의 필터는 아날로그 버전의 샘플 버전입니다. 그 이유는 디지털이 나오기 전에 아날로그 필터링에 많은 작업이 있었기 때문에 대부분의 이전 디자인을 사용했던 휠을 다시 발명했기 때문입니다. 그러나 디지털의 장점은 아날로그 세계에서보다 고차 필터를 훨씬 쉽게 얻을 수 있다는 것입니다. 설계에 다른 순서를 추가 할 때마다 회로가 복잡 해지는 것을 상상해보십시오.

벽돌 벽 유형 필터를 사용하려는 경우 가우시안 곡선은 시작하기에 매우 좋은 곳입니다. Time Domain <-> Frequency Domain에 대해 알고 있다면; 가우시안은 다른 도메인에서 가우시안으로 변환됩니다. 하나는 와인 더가 될수록 다른 하나는 더 좁아집니다. 따라서 주파수 영역에서 완벽한 스파이크를 얻으려면 무한한 양의 샘플이 필요합니다.

Matlab을 사용할 수있는 경우 내장 된 필터 설계 도구 중 일부를 확인해야합니다. 다음은 버터 워스 와 베셀 에 관한 링크 입니다. 설계 도구를 사용하면 필터의 특정 측면을 지정할 수 있습니다. 이러한 측면은 각 필터 유형에 따라 변경되지만 일부 예는 통과 대역, 저지 대역, 리플 등입니다. 디자이너에게 원하는 제약 조건을 지정하면 오류가 발생합니다 (해당 필터 유형으로 해당 필터를 만들 수 없음을 의미 함) ) 또는 사양을 충족하는 데 필요한 최소 주문 필터를 제공합니다.

— 켈렌 jb
소스

가우스는 음이 아닌 임펄스 응답에 대한 요구 사항에 맞는,하지만 많은 벽돌 벽의 아니에요. 반면에, 버터 워스, 베셀, 체비 쇼프는 충격 반응에서 부스러기 같은 진동을 일으켜 오버 슈트를 일으켰습니다. 이들 중 베셀 필터 는 통과 대역에서 거의 평탄한 그룹 지연 (선형 위상)을 갖기 때문에 오버 슈트가 가장 적습니다.

— Eryk Sun

가우스 이외의 다른 필터는 원인이됩니다. 오프라인 처리의 경우 선형 위상 NNFIR (음이 아닌 FIR)이 제대로 작동하거나 filtfilt 기술 을 사용하여 인과성 재귀 필터의 위상 왜곡을 취소 할 수 있습니다 . 물론 NNIR LPF를 설계 할 방법이 여전히 필요합니다. 오버 슈트 / 언더 슈트를 피하십시오. 누군가 제안? 참조?

— Eryk Sun

참고로 @eryksun은 최대 값의 1.05 배로 진동 할 경우 1.00에서 멈추도록 댐핑하면 안정 될 때 .96과 같이 스텝 응답이 약간 줄어 듭니다. 문제 해결됨.

— Kortuk

@ Kotuk : 시간 영역에서 문제가 해결되었지만 클리핑을하는 것은 비선형 일뿐 만 아니라 주파수 영역의 특정 부분을 열어 이전에는 없었던 신호를 전달합니다. 그는 시간 영역에서 오버 슈트없이 가능한 한 가장 엄격한 통과 / 비 통과 필터를 원합니다. 시간 도메인 오버 슈트는 임펄스 응답이 결코 부정적이지 않다고 말하는 것과 같습니다.

— Olin Lathrop 2013 년

@Kortuk : 일부 도메인에서는 0이 최대 값과 최소값 사이의 중간 점에 가깝고 신호를 중간 점으로 스케일링하면 오버 슈트 문제를 피할 수 있습니다. 이미징과 같은 다른 영역에서는 최소값 이 0 이고 동적 범위가 가장 중요합니다. 일반적으로 더 선명한 필터보다 오버 슈트하지 않는 "후지 필터"를 사용하는 것이 좋습니다.

— supercat