왜 샘플 대역에서 광대역 잡음의 앨리어싱이 '파일럿 (pile up)'하지 않습니까?

저는 최근 샘플링, 앨리어싱 효과, 앤티 앨리어싱 필터가 샘플링 된 신호에 미치는 영향을 연구하기위한 시뮬레이션을 구축했습니다.

샘플 대역 위의 기본 주파수의 경우 샘플링 된 신호에서 '임 포스터'를 볼 수 있습니다. 앤티 앨리어싱 필터를 사용하면 임 포스터를 제거 할 수 있습니다.

그러나 광대역 노이즈 (실제로 화이트 노이즈) 신호를 샘플러에 적용하면 앤티 앨리어싱 필터가 있는지 여부에 큰 차이가 없습니다. 피크 대 피크 노이즈는 두 경우 모두 동일합니다. 물론 노이즈 대역폭이 변경되었습니다.

또한 샘플 밴드 외부의 (임 포스터) 앨리어스 광대역 노이즈가 샘플 밴드에 실제로 전달되는 광대역 노이즈에 중첩되어 더 큰 피크 대 피크 레벨로 '필 업'될 것으로 예상합니다.

왜 이런 일이 발생하지 않습니까?

시뮬레이션 시간 단계는 MHz이고 시스템은 1kHz 범위에서 연구 중입니다. 따라서 시스템은 사실상 연속적인 세계에 있습니다.

noise sampling active-filter

— 독 과학
소스

이것은 내가 항상 나 자신에 대해 궁금했던 환상적인 질문입니다.

— Matt Young

스코프에서 노이즈 진폭을 측정하는 경우 AA 필터 전후 (a) 및 (b)에 어떤 진폭이 표시됩니까?

— 브라이언 드럼 몬드

@BrianDrummond이 실험이 반드시 내 질문의 요점을 다루지는 않습니다. 디지털 스코프조차도 과도하게 샘플링되며 자체 앤티 앨리어싱 필터가 내장되어 있습니다. 따라서 사실상 스코프는 '연속적'이며 샘플링 효과는 다루지 않습니다.

— docscience

AA 필터가 차이를 만들지 않는 이유는 무엇입니까? 샘플러의 피크 투 피크 출력을 생각하는 것이 가장 쉽지만 RMS에서도 작동합니다. 1MHz BW 및 1V pk-pk의 광대역 노이즈를 2KHz 샘플러에 직접 입력하면 샘플러의 출력은 1v pk-pk가됩니다. AA 필터 (벽돌 벽 1KHz BW)를 추가하고이를 샘플러에 공급하면 입력 전압은 ~ 30mV pk-pk (30dB att)가되고 샘플러 출력은 여전히 500Hz BW에서 30mv pp가됩니다. Nyquist 위의 잡음이 출력 대역에 앨리어싱되었습니다. 케빈

— 케빈 화이트

답변:

정확합니다. 샘플링 후 앨리어싱 된 노이즈 구성 요소가 나이 퀴 스트 주파수 아래의 주파수 대역에 쌓입니다. 문제는 정확히 무엇이 쌓여 있고 그 결과는 무엇인가입니다.

다음에서는 광역 정지 (WSS) 랜덤 프로세스, 즉 전력 스펙트럼을 정의 할 수있는 랜덤 프로세스로 모델링 된 랜덤 노이즈를 처리한다고 가정합니다. 경우 노이즈 프로세스이며 (샘플 기간을 가진 샘플링 노이즈 프로세스 인 ), 그 다음의 전력 스펙트럼 의 파워 스펙트럼의 앨리어싱 버전 : $N(t)$ $R_k= N(kT)$ $T$ $R_k$ $N(t)$

\begin{matrix} (1) & {에스}_{아르 자형} (에프) = {에프}_{에스} \sum_{케이 = - \infty}^{\infty} {에스}_{엔} (에프 - 케이 {에프}_{에스}) \end{matrix}

$S_R(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}S_N(f-kf_s)\tag{1}$

여기서 는 샘플링 주파수입니다. 물론, 만약 다음의 시프트 전력 스펙트럼의 한정된 수 (경우에 항상하는) 대역 제한 인 관심있는 주파수 대역에 추가 . $f_s=1/T$ $N(t)$ $N(t)$ $[0,f_s/2]$

잡음 전력은 각각의 전력 스펙트럼의 적분에 의해 주어진다. 의 경우, 우리는 전체 대역폭에 걸쳐 통합이 샘플링 잡음의 경우 반면, 우리는 대역 통합이 . (1)에서 우리는 원래의 전력 스펙트럼 을 통합하거나 앨리어싱 된 (즉, 쌓인) 버전을 대역 $N(t)$ $N(t)$ $R_k$ $[0,f_s/2]$ $S_N(f)$ . $[0,f_s/2]$

결과적으로, 샘플링 주파수에 상관없이 샘플링 후에 잡음 전력은 변하지 않는다. 샘플링 된 노이즈는 원래 연속 시간 노이즈와 동일한 전력을 갖습니다.

따라서 샘플 노이즈의 전력은 연속 노이즈의 전력을 변경하는 경우에만 변경되며, 필터는 노이즈 대역 폭과 결과적으로 노이즈 전력을 감소시키기 때문에 앤티 앨리어싱 필터로 수행 할 수 있습니다. 전력을 고려해야하기 때문에 피크 대 피크 값만 보는 것은 많지 않습니다.

참고:

EA Lee, DG Messerschmitt : 디지털 커뮤니케이션 , 2 차, 섹션 3.2.5 (pp. 64)

— 맷 L.
소스

샘플링 된 신호로 표시되는 에너지는 입력 신호의 PDF (확률 밀도 함수) 및 샘플 주파수에만 관련됩니다. 입력 신호의 실제 대역폭은 이에 영향을 미치지 않습니다.

다시 말해, 광대역 신호를 언더 샘플링하면 원래 광대역 신호와 동일한 PDF를 가진 샘플 세트가 있지만 해당 샘플의 유효 대역폭은 Fs / 2입니다. 이 대역폭 밖의 "초과"에너지 는 샘플링 과정에서 결코 포착되지 않았습니다 .

샘플 속도를 두 배로 늘리면 두 배의 에너지를 "캡처"합니다.

— 데이브 트위드
소스

주어진 입력 잡음 전력에 대해 샘플링 속도를 높이면 샘플링 된 잡음의 잡음 전력이 증가한다고 말하고 있습니까?

— Matt L.

예, 잡음 대역폭이 여전히 새로운 샘플링 대역폭보다 크거나 같은 한.

— Dave Tweed

그렇지 않습니다. 노이즈를 (와이드 센스) 고정 랜덤 프로세스로 모델링하면 샘플링 된 노이즈는 샘플링 속도에 관계없이 원래 연속 시간 노이즈 프로세스와 동일한 성능을 갖습니다.

— Matt L.

@MattL .: 그 주장에 대한 근거는 무엇입니까? 아마도 별도의 답변으로 더 자세히 설명해야 할 것입니다.

— Dave Tweed

시간이 더 생기면 바로 답을 쓸 것입니다. 그래도 내일까지 걸릴 수 있습니다.

— Matt L.