하이브리드 아날로그 / 디지털 샘플링 데이터 시스템에서 제로 오더 홀드의 역할은 정확히 무엇입니까?

나는이 질문을 수사적으로 요구하고 있음을 인정할 것이다. 나는 이것으로부터 어떤 대답이 나올지 궁금하다.

이 질문에 답하기로 결정했다면 Shannon-Nyquist 샘플링 정리를 잘 이해해야합니다. 특히 재건. 또한 교과서의 "gotchas"에주의하십시오. 디락 델타 임펄스 기능의 엔지니어링 개념으로 충분합니다. 모든 "분배"항목에 대해 걱정할 필요는 없습니다. 초기 델타 함수 로서의 디락 충동 은 충분합니다.

δ (t) = lim_{τ \to 0} \frac{1}{τ} rect (\frac{t}{τ})

$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$

어디

r e c t (t) ≜ {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

정밀도, 샘플 워드의 비트 폭 및 변환에서 수행 된 양자화와 관련된 문제는이 질문과 관련이 없습니다. 그러나 입력에서 출력으로의 확장 은 관련이 있습니다.

다른 사람이 정확하고 교육적으로 유용한 답변을 제시하지 않는 한 결국 내 답변을 쓸 것입니다. 나는 이것에 현상금을 넣을 수도 있습니다 (내가 가진 작은 담당자를 쓸 수도 있습니다).

가져가

sampling sample-and-hold zoh

— 로버트 브리스 토우-존슨
소스

앨리어싱에 대해 주로 듣고 싶습니까?

— deadude

아니. 나는 샘플링 정리의 모든 규칙을 준수한다고 가정합니다. 즉, 연속 시간 입력에서 이상인 샘플링 된 컨텐츠 나 에너지는 없습니다 . 이제 "별칭"과 "이미지"사이에는 차이점이 있습니다.

\frac{f_{s}}{2}

$\frac{f_\mathrm{s}}{2}$

— robert bristow-johnson 2012

내가 기억하는 한, 0 차 홀드는 디지털 시스템에서 샘플 사이의 지연 일 뿐이며, 한 샘플과 다음 샘플 간의 아날로그 측면에 영향을 줄 수 있습니다.

— KyranF

@KyranF, 그 이상입니다.

— robert bristow-johnson

@ Robertbristow-johnson은 Timo가 제공 한 답변에서 실제로 생각보다 더 복잡해 보입니다. 좋은 성과 있길 바래요!

— KyranF

답변:

설정

입력 신호가 인 시스템을 고려하고 명확성을 위해 필요에 따라 값을 전압이라고합니다. 우리의 샘플주기는 이고, 상응하는 샘플 속도는 입니다. $x(t)$ $x(t)$ $T$ $f_s \triangleq 1/T$

푸리에 변환의 경우 역 푸리에 변환 이러한 규칙에서 는 Laplace 변수 입니다.

X (i 2 π f) = F (x (t)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} d t,

$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$

x (t) = F^{- 1} (X (i 2 π f)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} X (i 2 π f) e^{i 2 π f t} d f .

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$

X

$X$

s = i ω = i 2 π f

$s = i \omega = i 2 \pi f$

이상적인 샘플링 및 재구성

우리는 이상적인 샘플링에서 시작하자 다음에 의하면 나이 퀴 스트 - 섀넌 정리 샘플링 신호 주어진 대역 제한에있는 , 즉 원래 신호는 샘플 에서 완벽하게 재구성 될 수 있습니다 . 여기서 입니다. 다시 말해, 신호 대역폭에 대한 조건 ( Nyquist 기준 이라고 함 )을 고려하면 등거리의 개별 시점에서 순간 값을 아는 것으로 충분합니다. $x(t)$ $f < \frac{1}{2} f_s$

X (i 2 π f) = 0, w h e n | f | \geq \frac{1}{2} f_{s},

$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(n T)$

n \in Z

$n\in \mathbb{Z}$

샘플링 정리는 또한 재구성을 수행하기위한 명시적인 방법을 제공합니다. 다음에 도움이되는 방식으로 이것을 정당화하자 : 단계 가진 Riemann 합에 의해 신호 의 푸리에 변환 를 추정하자 : 여기서 입니다. 우리가 만드는 오류를 정량화하기 위해 이것을 적분으로 다시 작성해 봅시다. $X(i 2 \pi f)$ $x(t)$ $T$

X (i 2 π f) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n Δ t) e^{- i 2 π f n Δ t} Δ t,

$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$

Δ t = T

$\Delta t = T$

\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) e^{- i 2 π f n T} T & = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} T δ (t - n T) d t \\ = X (i 2 π f) * F (T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T)) \\ (1) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (f - k / T), \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$ 여기서 의 곱에 대한 컨볼 루션 정리 와 샘플링 함수 , 샘플링 함수의 푸리에 변환이 라는 사실은 델타 함수에 대해 적분을 수행했습니다.

x (t)

$x(t)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} T δ (t - n T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (f - k / T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

왼쪽은 정확히 이며 여기서 는 해당 샘플링 된 신호 의 이산 시간 푸리에 변환 입니다 , 는 차원없는 이산 시간 주파수입니다. $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $x[n] \triangleq x(n T)$ $f T$

여기서 우리는 나이 퀴 스트 (Nyquist) 기준의 배후에있는 근본적인 이유를 볼 수 있습니다. 합계의 조건이 겹치지 않도록하는 것이 정확히 필요한 것입니다. 나이키 스트 (Nyquist) 기준으로, 상기 합은 간격 에서 전체 까지 스펙트럼의주기적인 확장으로 줄어 듭니다 . $[-f_s/2, f_s/2]$

의 DTFT는 원래 신호 와 동일한 간격 에서 동일한 푸리에 변환을 때문에 간단히 사각형 함수 를 곱할 수 있습니다 원래 신호를 다시 가져옵니다. 컨볼 루션 정리를 통해 , 이것은 우리의 관습에서 . 정규화 된 sinc 함수 는 $\eqref{discreteft}$ $[-f_s/2, f_s/2]$ $\mathrm{rect}(f/f_s)$

F (r e c t (f / f_{s})) = 1 / T s i n c (t / T),

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$

s i n c (x) ≜ \frac{\sin (π x)}{π x} .

$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$ 그런 다음 컨볼 루션은 Dirac 빗의 각 Dirac 델타를 델타 위치로 이동 한 sinc 함수로 간단히 대체하여 이것은이다 휘태커 섀넌 보간 수식 .

\begin{matrix} (2) & 엑스 (티) = \sum_{엔 = - \infty}^{\infty} 엑스 [엔] 에스 나는 엔 씨 (티 / 티 - 엔) . \end{matrix}

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$

비 이상적인 샘플링

위의 이론을 실제 세계로 변환하기 위해 가장 어려운 부분은 샘플링 전에 수행해야하는 대역 제한을 보장하는 것입니다. 이 답변의 목적을 위해, 우리는 이것이 완료되었다고 가정합니다. 나머지 작업은 신호의 순간 값을 샘플링하는 것입니다. 실제 ADC는 샘플에 대한 근사를 형성하기 위해 유한 한 시간이 필요하기 때문에, 일반적인 구현은 신호의 값을 샘플 및 홀드 회로에 저장하여 디지털 근사가 형성됩니다.

비록 이것이 0 차 홀드 홀드와 매우 비슷하지만, 그것은 명백한 과정입니다. 샘플 앤 홀드에서 얻은 값은 실제로 신호의 순간적인 값, 신호가 일정하게 유지되는 근사치까지입니다. 샘플 값을 유지하는 커패시터를 충전하는 데 걸리는 시간입니다. 이는 일반적으로 실제 시스템에서 잘 수행됩니다.

따라서 대역 제한 문제를 무시한 실제 ADC는 이상적인 샘플링의 경우와 매우 유사하며, 특히 샘플 앤 홀드에서 나오는 "계단"은 오류가 발생하지 않습니다. 자체 샘플링 .

비 이상적인 재구성

재구성의 목표는 나타나는 총합을 달성하는 전자 회로를 찾는 것입니다 . sinc는 무한한 시간을 가지기 때문에 이것이 정확히 실현 될 수 없다는 것은 분명합니다. 또한, 합리적인 근사치까지도 이러한 합산의 신호를 형성하는 것은 다수의 서브 회로를 필요로하고, 매우 복잡해진다. 따라서 일반적으로 훨씬 간단한 근사가 사용됩니다. 각 샘플링 순간에 샘플 값에 해당하는 전압이 출력되고 다음 샘플링 순간까지 일정하게 유지됩니다 ( 대체 방법의 예는 델타-시그마 변조 참조 ). 이것은 0 차 홀드 이며 위에서 사용한 sinc를 사각형 함수로 바꾸는 것에 해당합니다. $\eqref{sumofsinc}$ $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$ 입니다. 컨벌루션 평가 델타 함수의 정의 속성을 사용하면 실제로는 연속 연속 계단 파형이됩니다. 도입 된 를 취소하기 위해 인수 가 입력됩니다 . 임펄스 응답의 단위가 1 / 시간이라는 사실로부터 그러한 요소가 필요하다는 것도 분명하다.

(1 / 티 아르 자형 이자형 씨 티 (티 / 티 - 1 / 2)) ※ (\sum_{엔 = - \infty}^{\infty} 티 엑스 [엔] δ (티 - 엔 티)),

$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$

1 / T

$1/T$

T

$T$

(1)

$\eqref{discreteft}$

만큼의 이동 은 단순히 인과 관계 를 보장하기위한 것 입니다. 이것은 를 사용하는 것과 비교하여 1/2 샘플만큼 출력을 이동시키는 것입니다 실시간 시스템에서 발생하거나 외부 이벤트에 대한 매우 정확한 동기화가 필요한 경우) ), 다음에 나오는 내용은 무시합니다. $-1/2 T$ $1/T \mathrm{rect}(1/T)$

다시 비교 , 우리는 전체가 그대로 상기 스펙트럼 호출의 고주파 복사 모두 제거 된 기저 대역 좌측 주파수 도메인에서 직사각형 함수 치환 한 화상을 푸리에 변환하여 함수의 변환, 입니다. 이것은 물론 $\eqref{discreteft}$ $1/T \mathrm{rect}(t/T)$

에스 나는 엔 씨 (에프 / {에프}_{에스}) .

$\mathrm{sinc}(f/f_s).$

논리는 이상적인 경우에서 다소 역전됨에 유의하십시오. 우리는 목표를 정의했습니다. 이는 주파수 영역에서 이미지를 제거하고 시간 영역에서 결과를 도출하는 것이 었습니다. 여기서 우리는 시간 영역에서 재구성하는 방법을 정의하고 (우리가 수행하는 방법을 알고 있기 때문에) 주파수 영역에서 결과를 도출했습니다.

따라서 0 차 홀드 결과는 주파수 영역에서 직사각형 윈도우 대신에 윈도우 함수로 sinc로 끝납니다. 따라서:

주파수 응답은 더 이상 대역 제한이 없습니다. 오히려 로 감쇠하며 , 높은 주파수는 원래 신호의 이미지입니다. $1/f$
베이스 밴드에서 응답은 이미 에서 약 -4 dB에 도달하여 상당히 감쇠합니다 $1/2 f_s$

전반적으로 0 차 홀드는 Whittaker-Shannon 보간 공식에 나타나는 시간 영역 sinc 함수를 근사화하는 데 사용됩니다 . 샘플링 할 때 비슷한 모양의 샘플 앤 홀드는 신호의 순간 값을 추정하는 문제에 대한 기술적 솔루션이며 자체적으로 오류를 일으키지 않습니다.

초기 제로 오더 홀드 후에는 항상 고주파 이미지를 필터링 할 수 있기 때문에 재구성에서도 정보가 손실되지 않습니다. 이득 손실은 또한 DAC 전 또는 후에 역 sinc 필터에 의해 보상 될 수있다. 보다 실용적인 관점에서, 0 차 홀드 (zero-order hold)는 이상적인 재구성에 대한 초기 구현 가능한 근사치 를 구성하는 데 사용되며 , 필요한 경우 더 개선 될 수 있습니다.

— 티모
소스

흥미로운 Timo입니다. 당신은 위키 백과 정치의 결과에 부딪 치고 있습니다. 샘플링 정리에서이 Wikipedia 기사의 이전 버전을 확인하십시오 . 푸 아송 합산 공식 뒤에 숨기지 않고 샘플링이 이미지를 생성하는 방법과 원래 연속 시간 신호를 복구하는 데 필요한 것을 명시 적으로 보여줍니다. 샘플링 기능에 왜 계수 가 있는지 알 수 있습니다 .

T

$T$

— robert bristow-johnson

Wikipedia 기사의 이전 버전이 실제로 더 명확하다는 것이 흥미 롭습니다. 계산은 조금 더 자세한 내용을 제공한다는 점을 제외하고는 위의 내용과 거의 동일합니다.

— Timo

어쨌든, 나는 이것이의 요인 이유를 이해하는 데 필요한 확신 왜 안 해요 필요하다 : 나는 무엇을 나는이 질문에 쓰기하면위한 충분 조건이라고 생각 기술적으로 (필요하는, 일관성 상태,하지만 우리 이미 재구성이 가능하다고 가정합니다). 물론 이해는 항상 주관적인 것입니다. 예를 들어, 여기서 가 한계 때 본질적으로 적분 척도 가되는 요인 가 나타나는 더 깊은 이유로 간주 될 수 있습니다 .

T

$T$

T

$T$

T

$T$

T

$T$

d t

$\mathrm{d}t$

T \to 0

$T \rightarrow 0$

— Timo

나는 당신이에서 왜 복잡한 지수 함수의 합으로 디랙 빗의 표현의 1 / T의 모습 그대로를 참조하는지 생각 en.wikipedia.org/w/... ? 물론 그것을 넣는 한 가지 방법 이며 측정 값으로서 의 역할과 직접적으로 관련이 있습니다.

T

$T$

— Timo

나는 도울 수는 없지만 당신이 따르는 대답을 추가해야한다고 생각합니다. 의견은 확장 토론을위한 것이 아닙니다.

— David

0 차 홀드는 샘플링 정리에 나타나는 델타 및 함수 를 근사화하는 역할을합니다 . $\mathrm{sinc}$

명확성을 위해 전압 신호가있는 ADC / DAC 시스템을 고려합니다. 그러나 다음은 모두 적절한 단위 변경으로 모든 샘플링 시스템에 적용됩니다. 또한 입력 신호가 이미 나이키 스트 (Nyquist) 기준을 충족시키기 위해 마술처럼 대역 제한되어 있다고 가정합니다.

샘플링 시작 : 이상적으로는 입력 신호 값을 단일 순간에 샘플링하는 것이 이상적입니다. 실제 ADC는 근사치를 형성하기 위해 유한 한 시간이 필요하기 때문에 순간 전압은 샘플 앤 홀드에 의해 근사됩니다 (콘덴서 충전에 사용 된 스위칭 시간에 의해 근사화 됨). 본질적으로, 홀드는 신호에 델타 기능을 적용하는 문제를 일정한 전압을 측정하는 문제로 변환합니다.

여기서 입력 신호에 임펄스 트레인을 곱하거나 동일한 순간에 0 차 홀드를 적용하는 것의 차이는 ADC의 순간적인 전압 만 저장하기 때문에 해석의 문제 일뿐입니다. 하나는 다른 것에서 재구성 될 수 있습니다. 이 답변의 목적을 위해 샘플링 된 신호는 형식의 연속 신호라는 해석을 채택하겠습니다. 여기서 는 ADC / DAC의 기준 전압, 은 비트 수, 는 일반적인 방법으로 정수로 표현 된 샘플,

엑스 (티) = \frac{Δ 티 V_{아르 자형 이자형 에프}}{2^{엔}} \sum_{케이} {엑스}_{케이} δ (티 - 케이 Δ 티),

$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$

V_{r e f}

$V_\mathrm{ref}$

n

$n$

x_{k}

$x_k$

Δ t

$\Delta t$ 샘플링 기간입니다. 이 다소 통례없는 해석은 항상 연속 신호를 고려하고 있다는 점에서 이점이 있습니다. 여기서 샘플링은 단순히 일반적인 의미의 샘플 인 숫자 표현한다는 의미입니다.

x_{k}

$x_k$

이 해석에서 기저 대역의 신호 스펙트럼은 원래 신호의 스펙트럼과 동일하며 임펄스 트레인에 의한 유효 컨볼 루션은 스펙트럼을 주기적으로 만드는 등의 신호 복제에 영향을줍니다. 복제물을 스펙트럼의 이미지라고합니다. 정규화 계수 가 필요하다는 것은, 예를 들어, 1 볼트 펄스 지속 시간 의 DC 오프셋을 고려함으로써 볼 수있다 : 푸리에 변환 의 성분으로 정의 된 DC 오프셋은 다음과 같다. 샘플링 된 버전에서 동일한 결과를 얻으려면 실제로 인수를 포함해야합니다 . * $\Delta t$ $\Delta t$ $f = 0$

\hat{엑스} (0) = \int_{0}^{Δ 티} 1 V 디 티 = 1 V Δ 티 .

$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$

Δ t

$\Delta t$

이상적인 재구성은이 신호와 동일한베이스 밴드 스펙트럼을 가지며이 범위 밖의 주파수에 구성 요소가없는 전기 신호를 구성하는 것을 의미합니다. 이것은 적절한 -함수로 임펄스 트레인을 연결하는 것과 같습니다 . 이것은 전자적으로 수행하기가 매우 어렵 기 때문에 는 종종 사각형 함수 인 AKA 0 차 홀드 (zero-order hold)에 의해 추정됩니다. 본질적으로, 각각의 델타 함수에서, 샘플의 값은 샘플링 기간 동안 유지된다. $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$

이것이 재구성 된 신호에 어떤 영향을 미치는지 확인하기 위해, 홀드가 직각 함수 임펄스 트레인을 돌리는 것과 정확히 동등한 것을 관찰했습니다 이 직사각형 함수의 정규화는 정전압을 정확하게 재생해야하거나, 즉 샘플링 할 때 전압 을 측정 한 경우 재구성시 동일한 전압이 출력 되도록 요구함으로써 정의됩니다 .

{아르 자형 이자형 씨 티}_{Δ 티} (티) = \frac{1}{Δ 티} 아르 자형 이자형 씨 티 (\frac{티}{Δ 티}) .

$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$

V_{1}

$V_1$

주파수 영역에서 이것은 사각형 함수의 푸리에 변환과 주파수 응답을 곱하는 것입니다. 이는 DC의 게인은 입니다. 고주파수에서, 는 처럼 쇠퇴 하므로 스펙트럼의 이미지를 감쇠시킵니다.

{\hat{r e c t}}_{Δ t} (f) = s i n c (π Δ t f) .

$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$

1

$1$

s i n c

$\mathrm{sinc}$

1 / f

$1/f$

결국, 0 차 홀드로 인한 -함수는 신호에서 저역 통과 필터로 동작합니다. 샘플링 단계에서 정보가 손실되지 않으며 (나이키 스트 기준으로 가정) 원칙적으로 재구성 할 때 손실되지 않습니다. 에 의한 기저 대역의 필터링 은 역 필터 (및 역 필터)에 의해 보상 될 수 있습니다. 이 작업은 실제로 수행되는 경우도 있습니다 (예 : https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853 참조 ). 겸손한 의 붕괴 일반적으로 더 약화로 이미지를 필터링의 형태가 필요합니다. $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$ $-6\mathrm{dB/octave}$ $\mathrm{sinc}$

또한 분석에 사용 된 임펄스 트레인을 물리적으로 재생할 수있는 가상 임펄스 발생기는 이미지 재구성에 무한한 양의 에너지를 출력 할 것입니다. 이것은 또한 원래 시스템과 완벽하게 동기화되지 않는 한 출력을 재 샘플링하는 ADC가 아무 것도 보지 못하는 것과 같은 약간의 효과를 유발합니다 (주로 임펄스 사이에서 샘플링 됨). 이것은 출력을 정확하게 대역 제한 할 수 없더라도 신호의 총 에너지를 정규화하기 위해 항상 근사한 대역 제한이 필요하다는 것을 분명히 보여줍니다.

요약:

양방향에서, 0 차 홀드는 델타 함수에 대한 근사치 또는 밴드 제한 형식 인 -function으로 작용합니다. $\mathrm{sinc}$
주파수 영역의 관점에서, 이것은 이미지를 제거하는 브릭 월 필터에 대한 근사치이므로 이상적인 임펄스 트레인에 존재하는 무한한 양의 에너지를 조절합니다.

* 이것은 차원 분석에서도 명확합니다. 전압 신호의 푸리에 변환 단위는 . 델타 함수의 단위는 변환의 적분에서 오는 시간 단위를 취소합니다. $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ $1/\mathrm{s}$

— 티모
소스

타이머가 나를 허락 할 때, 나는 이것에 현상금을 넣을 것이다. Timo. 내가 좋아하는 것이 있습니다. 예를 들어 DC 이득 = 1을 갖는 것은 식과 일치합니다. 당신의 격언 인용 1,하지만 방법이 너무 많은 교과서의 이득을 망치 가 함께 무엇을 해야할지하지 않습니다. ZOH는 ADC의 입력에서 가능한 S / H와 아무 관련이 없다는 것을 이해하고있는 것으로 보입니다. 잘 됐네요 나는 여전히 좀 더 엄격한 답변을 기다릴 것입니다. 에 대해 걱정하지 마십시오 . ADC와 DAC가 동일하다고 가정합니다.

T

$T$

V_{ref}

$V_\text{ref}$

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson : 친절한 말에 감사드립니다! 더 엄격한 방향을 찾고있는 방향을 조금 지정할 수 있습니까? 자세한 내용, 더 많은 수학 증명 스타일 답변 또는 완전히 다른 것?

— Timo

깨끗하고 일관된 수학적 표기법으로 수학적 처리를 생각합니다. 나는 Oppenheim 및 Wilsky 또는 이와 유사한 것을 준수하는 것이 좋습니다. 아마도 Laplace와 Fourier 변환은 일관되고 호환되는 표기법 . 표본 정리 이론이 무엇을 말하는지 그리고 그것이 실제로 어떻게 다른지 그리고 ZOH가 어디에서 나오는지 논의하십시오.

티 ≜ \frac{1}{{에프}_{에스}}

$T \triangleq \frac{1}{f_\text{s}}$

엑스 [엔] ≜ 엑스 (엔 티)

$x[n] \triangleq x(nT)$

에프 {엑스 (티)} = 엑스 (제이 2 π 에프) ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} 엑스 (티) {이자형}^{- 제이 2 π 에프 티} 디 티

$\mathcal{F}\{x(t)\} = X(j2\pi f) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \ dt$

— robert bristow-johnson

좋아, 실제로 다른 표기법을 작성해 보겠습니다.이를 편집하여 선호하는 표기법을 변경하면 약간 혼란 스러울 수 있습니다. 내가 먼저 귀찮게하기 때문에 먼저이 실수에서 작은 실수를 해결합니다 ...

— Timo

나는 약간 혼란 스러우며 느리게 그리기에 현상금 아이콘을 쳐서 현상금을 수여하지 않았습니다. 규칙에 따라 : 7 일 이내에 상금을 지급하지 않으면 (유예 기간 포함), 최소 2 점으로 현상금이 시작된 후 생성 된 가장 높은 투표 답변은 현상금 금액의 절반이됩니다. 둘 이상의 적격 답변이 동일한 점수를 갖는 경우 (즉, 점수가 묶여있는 경우) 가장 오래된 답변에 현상금이 부여됩니다. 해당 기준을 충족하는 답변이 없으면 현상금이 누구에게도 주어지지 않습니다. -이 규칙에 따라 일주일 이내에 받아야합니다.

— robert bristow-johnson 2012

푸리에 변환 :

X (j 2 π f) = F {x (t)} ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$

역 푸리에 변환 :

x (t) = F^{- 1} {X (j 2 π f)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (j 2 π f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$

직사각형 펄스 기능 :

rect (유) ≜ {\begin{cases} 0 & 만약 | 유 | > \frac{1}{2} \\ 1 & 만약 | 유 | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

"Sinc"함수 ( "sinus cardinalis") :

sinc (V) ≜ {\begin{cases} 1 & 만약 V = 0 \\ \frac{죄 (π V)}{π V} & 만약 V \neq 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$

정의 샘플링 주파수 , 샘플링주기의 역수 . $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ $T$

참고 :

에프 {rect (\frac{티}{티})} = 티 sinc (에프 티) = \frac{1}{{에프}_{에스}} sinc (\frac{에프}{{에프}_{에스}})

$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

Dirac 빗 (일명 "샘플링 기능"또는 "Sha 기능") :

{III}_{티} (티) ≜ \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} δ (티 - 엔 티)

$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$

Dirac 콤은주기 로 주기적입니다 . 푸리에 시리즈 : $T$

{III}_{티} (티) = \sum_{케이 = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{티} {이자형}^{제이 2 π 케이 {에프}_{에스} 티}

$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$

샘플링 된 연속 신호 :

\begin{aligned} {엑스}_{에스} (티) & = 엑스 (티) \cdot (티 \cdot {III}_{티} (티)) \\ = 엑스 (티) \cdot (티 \cdot \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} δ (티 - 엔 티)) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 (티) δ (티 - 엔 티) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 (엔 티) δ (티 - 엔 티) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] δ (티 - 엔 티) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$

여기서 입니다. $x[n] \triangleq x(nT)$

이것은 가 샘플 과 샘플링주기 의해서만 정의 되며 샘플링 인스턴스 사이의 시간 동안 의 값에 대한 정보를 완전히 잃는다는 것을 의미 합니다. 은 숫자의 이산 시퀀스이며 대한 일종의 DSP 속기 표기법입니다 . 사실이지만 그 에 대한 의 값 어느 대한 은 정수가 정의되어 있지. $x_\text{s}(t)$ $x[n]$ $T$ $x(t)$ $x[n]$ $x_n$ $x_\text{s}(t) = 0$ $nT < t < (n+1)T$ $x[n]$ $n$

NB : 이산 신호 및 모든 그것에 이산 시간 작업 등 - 기존 의 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT) 은 이산 푸리에 변환 (DFT)은 이다 "불가지론" 샘플링 주파수 또는 샘플링주기 에 관한 것이다 . 불연속 도메인 에 들어가면 에 대해 알지 못합니다 . 그것은 인 만 으로 나이 퀴 스트 샘플링 및 섀넌 재구성 정리 것을 및 조립된다. $x[n]$ $\mathcal{Z}$ $T$ $x[n]$ $T$ $x[n]$ $T$

의 푸리에 변환 은 $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} {엑스}_{에스} (제이 2 π 에프) ≜ 에프 {{엑스}_{에스} (티)} & = 에프 {엑스 (티) \cdot (티 \cdot {III}_{티} (티))} \\ = 에프 {엑스 (티) \cdot (티 \cdot \sum_{케이 = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{티} {이자형}^{제이 2 π 케이 {에프}_{에스} 티})} \\ = 에프 {\sum_{케이 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 (티) {이자형}^{제이 2 π 케이 {에프}_{에스} 티}} \\ = \sum_{케이 = - \infty}^{+ \infty} 에프 {엑스 (티) {이자형}^{제이 2 π 케이 {에프}_{에스} 티}} \\ = \sum_{케이 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 (제이 2 π (에프 - 케이 {에프}_{에스})) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$

스케일링에 대한 중요 참고 사항 : 샘플링 함수 및 샘플링 된 신호 에는 거의 모든 교과서에서 볼 수없는 계수 가 있습니다. 그것은 여러 가지 (관련된) 이유로 이러한 교과서의 저자들의 교육적 실수입니다. $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ $x_\text{s}(t)$ $T$

먼저, 를 생략하면 샘플링 된 신호 의 치수가 샘플링 된 얻는 신호의 치수에서 변경 됩니다. $T$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$
이 계수는 신호 체인 어딘가에 필요할 것 입니다. 샘플링 기능에서 제외 된이 교재는 일반적으로 재구성 필터의 통과 대역 이득으로 샘플링 이론의 재구성 부분에 넣습니다. 그것은 차원 적으로 혼란 스럽다. 누군가가 합리적으로 묻습니다. "통과 대역 이득이 브릭 월 LPF를 어떻게 설계 합니까?" $T$ $T$
아래에서 볼 수 있듯이, 를 여기에 두지 않으면 ZO (Zero-order Hold)의 순 전송 함수 및 순 주파수 응답에 대해 유사한 스케일링 오류가 발생합니다. 내가 본 디지털 (및 하이브리드) 제어 시스템의 모든 교과서는이 실수를 범하며 이는 심각한 교육 학적 오류입니다. $T$

의 DTFT 와 샘플링 된 신호 의 푸리에 변환은 적절한 스케일링으로 거의 동일합니다. $x[n]$ $x_\text{s}(t)$

DTFT :

\begin{aligned} {엑스}_{디 티 에프 티} (ω) & ≜ 지 {엑스 [엔]} |_{지 = {이자형}^{제이 ω}} \\ = {엑스}_{지} ({이자형}^{제이 ω}) \\ = \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] {이자형}^{- 제이 ω 엔} \end{aligned}

$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$

그것은 보여 질 수있다

{엑스}_{디 티 에프 티} (ω) = {엑스}_{지} ({이자형}^{제이 ω}) = \frac{1}{티} {엑스}_{에스} (제이 2 π 에프) |_{에프 = \frac{ω}{2 π 티}}

$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$

위의 수학은 가 "적절하게 샘플링되었는지" 여부에 관계없이 적용 됩니다. 가 "적절히 샘플링"있는 완전히 샘플들로부터 복구 할 수있는 상기 샘플링 레이트에 대한 지식이나 샘플링주기. 샘플링 정리는 및 에서 를 복구하거나 재구성하는 데 필요한 것을 알려줍니다 . $x(t)$ $x(t)$ $x(t)$ $x[n]$ $x(t)$ $x[n]$ $T$

경우 되고 대역 제한된 일부에 bandlimit의 것을 의미 $x(t)$ $B$

엑스 (제이 2 π 에프) = 0 모든 | 에프 | > 비

$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$

원본의 시프트 된 이미지로 구성된 샘플링 된 신호의 스펙트럼을 고려하십시오.

{엑스}_{에스} (제이 2 π 에프) = \sum_{케이 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 (제이 2 π (에프 - 케이 {에프}_{에스}))

$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$

시프트 된 이미지가 없다면 , 원래의 스펙트럼 는 샘플링 된 스펙트럼 로부터 복구 될 수있다 . , 인접 이웃과 겹칩니다. 이는 번째 이미지 의 오른쪽 가장자리 ( )가 완전히 왼쪽 가장자리의 왼쪽에 있어야 함을 의미합니다. ( ) 번째 이미지 ( ) 수학적으로 쉬고 $X(j 2 \pi f)$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k+1$ $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$

케이 {에프}_{에스} + 비 < (케이 + 1) {에프}_{에스} - 비

$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$

어느 것이

{에프}_{에스} > 2 비

$f_\text{s} > 2B$

대역폭의 두 배를 초과하는 샘플링 속도로 샘플링하는 경우 이미지가 겹치지 않습니다. 원래의 스펙트럼 는 을 에서 추출 할 수있는 이미지입니다. 원래 이미지 (여기서 )의 크기를 유지 하지 않고 다른 모든 이미지를 버리는 브릭 월 저역 통과 필터가 있습니다. 즉, 원본 이미지에 1을 곱하고 다른 모든 이미지에 0을 곱합니다. $X(j 2 \pi f)$ $k=0$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $k=0$

\begin{aligned} 엑스 (제이 2 π 에프) & = rect (\frac{에프}{{에프}_{에스}}) \cdot {엑스}_{에스} (제이 2 π 에프) \\ = H (제이 2 π 에프) {엑스}_{에스} (제이 2 π 에프) \end{aligned}

$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$

재구성 필터는 이다

H (제이 2 π 에프) = rect (\frac{에프}{{에프}_{에스}})

$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

및이 비인 임펄스 응답 :

h (티) = {에프}^{- 1} {H (제이 2 π 에프)} = {에프}_{에스} sinc ({에프}_{에스} 티)

$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$

주파수 영역에서 곱셈으로 표현 된이 필터링 연산 은 시간 영역에서의 컨벌루션 과 같습니다 .

\begin{aligned} 엑스 (티) & = h (티) ⊛ {엑스}_{에스} (티) \\ = h (티) ⊛ 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] δ (티 - 엔 티) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] (h (티) ⊛ δ (티 - 엔 티)) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] h (티 - 엔 티)) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] ({에프}_{에스} sinc ({에프}_{에스} (티 - 엔 티))) \\ = \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] sinc ({에프}_{에스} (티 - 엔 티)) \\ = \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] sinc (\frac{티 - 엔 티}{티}) \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$

이는 샘플 과 샘플링 속도 또는 샘플링주기에 대한 지식을 통해 원래 가 어떻게 재구성 되는지 명시 적으로 설명합니다 . $x(t)$ $x[n]$

그래서이 실제 출력 무엇 디지털 - 아날로그 컨버터 (DAC)는 어느 쪽도 없다가

\sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] sinc (\frac{티 - 엔 티}{티})

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$

를 복구하기 위해 추가 처리가 필요하지 않으며 $x(t)$

{엑스}_{에스} (티) = \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] 티 δ (티 - 엔 티)

$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$

이상적인 블록 벽을 갖는 LPF 는 기저 대역 이미지를 분리 및 유지하고 다른 모든 이미지를 버림으로써 를 복구한다 . $x(t)$

디지털화 된 신호에 대해 처리 또는 스케일링이없는 경우, 종래의 DAC로부터 나오는 것은 다음 샘플이 출력 될 때까지 값 이 일정한 값으로 유지되는 것이다. 이것은 부분적으로 일정한 함수를 만듭니다 . $x[n]$

{엑스}_{DAC} (티) = \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] rect (\frac{티 - 엔 티 - \frac{티}{2}}{티})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$

함수에 적용되는 샘플 기간 의 지연에 유의하십시오 . 이것은 인과 관계를 만듭니다. 그것은 단순히 $\frac{1}{2}$ $\operatorname{rect}(\cdot)$

{엑스}_{DAC} (티) = 엑스 [엔] = 엑스 (엔 티) 언제 엔 티 \leq 티 < (엔 + 1) 티

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$

다르게 진술

{엑스}_{DAC} (티) = 엑스 [엔] = 엑스 (엔 티) ...에 대한 엔 = 바닥 (\frac{티}{티})

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$

여기서 는 바닥 함수 이며 초과하지 않는 최대 정수로 정의됩니다 . $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ $u$

이 DAC 출력은 이상적으로 샘플링 된 신호 를 수용하고 이상적으로 샘플링 된 신호의 각 임펄스에 대해 다음과 같은 임펄스 응답을 출력 하는 선형 시간 불변 시스템 (LTI) 또는 필터 로 직접 모델링됩니다 . $x_\text{s}(t)$

h_{ZOH} (티) = \frac{1}{티} rect (\frac{티 - \frac{티}{2}}{티})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$

이것을 확인하기 위해 연결하는 중 ...

\begin{aligned} {엑스}_{DAC} (티) & = h_{ZOH} (티) ⊛ {엑스}_{에스} (티) \\ = h_{ZOH} (티) ⊛ 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] δ (티 - 엔 티) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] (h_{ZOH} (티) ⊛ δ (티 - 엔 티)) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] h_{ZOH} (티 - 엔 티)) \\ = 티 \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] \frac{1}{티} rect (\frac{티 - 엔 티 - \frac{티}{2}}{티}) \\ = \sum_{엔 = - \infty}^{+ \infty} 엑스 [엔] rect (\frac{티 - 엔 티 - \frac{티}{2}}{티}) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$

임펄스 응답 를 갖는 LTI 시스템의 출력이 위의 부분 단위 상수 구성과 일치하므로 DAC 출력 . 그리고이 LTI 시스템에 입력되고, 샘플링 된 신호 적절히의 기저 화상되도록 스케일링 정확하게 샘플링되는 원 신호의 스펙트럼과 동일 . 그건 $x_\text{DAC}(t)$ $h_\text{ZOH}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$

엑스 (제이 2 π 에프) = {엑스}_{에스} (제이 2 π 에프) ...에 대한 - \frac{{에프}_{에스}}{2} < 에프 < + \frac{{에프}_{에스}}{2}

$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$

원래 신호 스펙트럼은 샘플링 된 스펙트럼과 동일하지만 샘플링으로 인해 나타나는 모든 이미지는 버려집니다.

ZOH ( Zero-order Hold) 라고하는이 LTI 시스템의 전달 함수 는 임펄스 응답 의 라플라스 변환 입니다.

\begin{aligned} H_{ZOH} (에스) & = 엘 {h_{ZOH} (티)} \\ ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} h_{ZOH} (티) {이자형}^{- 에스 티} 디 티 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{티} rect (\frac{티 - \frac{티}{2}}{티}) {이자형}^{- 에스 티} 디 티 \\ = \int_{0}^{티} \frac{1}{티} {이자형}^{- 에스 티} 디 티 \\ = \frac{1}{티} \frac{1}{- 에스} {이자형}^{- 에스 티} |_{0}^{티} \\ = \frac{1 - {이자형}^{- 에스 티}}{에스 티} \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$

주파수 응답은 로 대체하여 얻습니다. $j 2 \pi f \rightarrow s$

\begin{aligned} H_{ZOH} (제이 2 π 에프) & = \frac{1 - {이자형}^{- 제이 2 π 에프 티}}{제이 2 π 에프 티} \\ = {이자형}^{- 제이 π 에프 티} \frac{{이자형}^{제이 π 에프 티} - {이자형}^{- 제이 π 에프 티}}{제이 2 π 에프 티} \\ = {이자형}^{- 제이 π 에프 티} \frac{죄 (π 에프 티)}{π 에프 티} \\ = {이자형}^{- 제이 π 에프 티} sinc (에프 티) \\ = {이자형}^{- 제이 π 에프 티} sinc (\frac{에프}{{에프}_{에스}}) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$

이는 1/2 샘플주기의 일정한 지연 을 가지며 주파수 증가함에 따라 감소 하는 선형 위상 필터 를 나타냅니다 . 약한 저역 통과 필터 효과입니다. DC에서 이면 이득은 0 dB이고 Nyquist에서는 에서 이득은 -3.9224 dB입니다. 따라서베이스 밴드 이미지에는 일부 고주파 성분이 약간 줄어 듭니다. $\frac{T}{2}$ $f$ $f=0$ $f=\frac{f_\text{s}}{2}$

샘플링 된 신호 와 마찬가지로 샘플링 주파수의 정수배 에서 샘플링 된 신호 에 이미지가 있지만 이러한 이미지는 진폭이 크게 감소합니다 ( 베이스 밴드 이미지) 가 가 아닌 정수 대해 때 0을 통과하며 , 이는 이미지 중간에 있습니다. $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$ $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ $f = k\cdot f_\text{s}$ $k$

결론 :

제로 오더 홀드 (ZOH)는 다음과 같이 업데이트 될 때까지 샘플 값 에서 출력을 일정하게 유지하는 실용적인 디지털 아날로그 변환기 (DAC)에 의해 수행되는 신호 재구성의 선형 시간 불변 모델입니다. 다음 샘플 . $x[n]$ $x[n+1]$
일반적인 오해 반대로, ZOH는 없다 아무것도 함께 할 수있는 샘플 홀드 회로 (S / H) 하나가 앞 찾을 수있는 아날로그 - 디지털 컨버터 (ADC)를 . DAC가 각 샘플링주기 동안 일정한 값으로 출력을 유지하는 한 ADC에 S / H가 있는지 여부는 중요하지 않으며 ZOH 효과는 유지됩니다. DAC에 출력 일 경우 , 다른 (예를 들면 대략 디랙 임펄스 의도 좁은 펄스 시퀀스로서) 구분 적 상수 출력보다 위와 같이 도시 다음 ZOH 효과가 없는 본 (뭔가 다른 인 대신 ADC 앞에 S / H 회로가 있는지 여부를 나타냅니다. $x_\text{DAC}(t)$
ZOH의 순 전송 함수는 이고 ZOH의 순 주파수 응답은 많은 교과서 에서 전달 함수의 분모에 인수를 생략했습니다 . 이는 실수입니다.
$H_{ZOH} (에스) = \frac{1 - {이자형}^{- 에스 티}}{에스 티}$ $H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$ $H_{ZOH} (제이 2 π 에프) = {이자형}^{- 제이 π 에프 티} sinc (에프 티)$ $H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$ $T$
ZOH 는 샘플링 된 신호 의 이미지를 크게 줄이지 만 제거하지는 않습니다. 이미지를 제거하려면 이전과 같이 좋은 저역 통과 필터가 필요합니다. Brickwall LPF는 이상화입니다. 실용적인 LPF는 또한 고주파수에서 기저 대역 이미지 (우리가 유지하고자하는)를 감쇠시킬 수 있으며, 감쇠는 ZOH (3.9224dB 감쇠 미만)에서 발생하는 감쇠와 같이 설명되어야합니다. ZOH는 또한 절반의 샘플주기만큼 신호를 지연 시키며, 특히 ZOH가 피드백 루프에있는 경우 고려해야 할 수도 있습니다 (안티 이미징 LPF의 지연과 함께). $x_\text{s}(t)$

— 로버트 브리스 토우-존슨
소스

나는 당신의 대답이 깨끗하고 좀 더 철저하다는 것을 인정할 것입니다. 나는 아직도 궁금해했다, 큰 공개는 무엇인가? DAC 출력 모델 로 0 차 홀드를 강조하고 싶 습니까?

— Timo

당신의 대답에는 약간의 실수가 있습니다. 예를 들어 주파수 응답에 1/2 샘플 지연이 표시되지 않습니다. 우리 현상금 ( 나의 것이었고 지금은 너의 것이 되어야 함 )이 변기 때문에 일이 일어난 방식으로 죄송합니다 .

— robert bristow-johnson 2012

음, 나는 카펫 아래에서 그것을 칫솔질하지만 (더 긴 것에서) 언급하지만, 1/2 샘플 지연이 중요하지 않은 오디오 측면에서 DSP에 대해 주로 생각했기 때문에 그렇게 생각합니다. 지연되지 않은 복사본을 소개하는 다른 경로가 있습니다). 기본적으로 나는 단지 의 요소를 끝까지 전달하고 싶지 않았기 때문에 더 철저하다고 말하는 것의 일부입니다.

e^{- i π f T}

$e^{-i \pi f T}$

— Timo

@ 티모, 이제 나보다 두 배의 담당자가 있습니다. 당신은 언제 찌를 수있는 현상금을 게시 할 예정입니까? :-)

— robert bristow-johnson 2012

충분히 공평하게, 나는 무언가를 생각하려고 노력해야한다 : D

— Timo

하이브리드 아날로그 / 디지털 샘플링 데이터 시스템에서 제로 오더 홀드의 역할은 정확히 무엇입니까?

설정

이상적인 샘플링 및 재구성

비 이상적인 샘플링

비 이상적인 재구성

0 차 홀드는 샘플링 정리에 나타나는 델타 및 함수 를 근사화하는 역할을합니다 .s i n c에스나는엔씨\mathrm{sinc}

요약:

0 차 홀드는 샘플링 정리에 나타나는 델타 및 함수 를 근사화하는 역할을합니다 . $\mathrm{sinc}$